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2022年3月8日

三角関数を含む不等式を解く

0θ2πのとき、以下の不等式を解け。

(1)sinθ22

(2)tanθ<3

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


(1)sinθ22

 まずは不等号を等号に置き換えたときのθを求めます。
sinθ=22
この方程式が成り立つときを単位円で考えると以下のようになります。
sinθ=√2/2
このことからθ=π4,3π4であることがわかります。
sinθ≧√2/2
そして問題の不等式はsinθ22以上の値をもつことを意味しており、これに当てはまるのは動径の単位円上の端点が上図の赤色の弧上にあるときとなります。該当する動径の表す角度がこの不等式の解となります。
したがって解は
π4θ3π4
となります。

(2)tanθ<3

 (1)と同様
tanθ=3
を解きます。
tanθ=√3
この方程式が成り立つときを単位円で考えると上図のようになるので、θ=π3,4π3となります。
tanθ<√3
そして問題の不等式tanθ3未満の値をもつことを意味しており、これに当てはまるのは上図の直線x=1上の緑の線の部分を通るような動径のとき、すなわち動径の単位円上の端点が赤い弧上(ただし、白丸は含まない)にあるときとなります。

θ=π2を含まないことについてですが、tanθの値について考えると0θ2πにおいてθ=π23π2のときは値がありません。
tanθの値のないときのθは範囲に含むことができないので、tanθに限り0θ2π0θ<π2,π2<θ<3π2,3π2<θ2πθ=π23π2を除いてできる3つの範囲に分割して考えることになります。

したがって、解は
0θ<π3,π2<θ<4π3
となります。

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