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2022年3月8日

三角関数を含む不等式を解く

0\leqqθ\leqq2\piのとき、以下の不等式を解け。

(1)\large\sinθ\geqq\frac{\sqrt{2}}{2}

(2)\large\tanθ<\sqrt{3}

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


(1)\sinθ\geqq\frac{\sqrt{2}}{2}

 まずは不等号を等号に置き換えたときのθを求めます。
\sinθ=\frac{\sqrt{2}}{2}
この方程式が成り立つときを単位円で考えると以下のようになります。
sinθ=√2/2
このことからθ=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}であることがわかります。
sinθ≧√2/2
そして問題の不等式は\sinθ\dfrac{\sqrt{2}}{2}以上の値をもつことを意味しており、これに当てはまるのは動径の単位円上の端点が上図の赤色の弧上にあるときとなります。該当する動径の表す角度がこの不等式の解となります。
したがって解は
\frac{\pi}{4}\leqqθ\leqq\frac{3\pi}{4}
となります。

(2)\tanθ<\sqrt{3}

 (1)と同様
\tanθ=\sqrt{3}
を解きます。
tanθ=√3
この方程式が成り立つときを単位円で考えると上図のようになるので、θ=\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}となります。
tanθ<√3
そして問題の不等式\tanθ\sqrt{3}未満の値をもつことを意味しており、これに当てはまるのは上図の直線x=1上の緑の線の部分を通るような動径のとき、すなわち動径の単位円上の端点が赤い弧上(ただし、白丸は含まない)にあるときとなります。

θ=\dfrac{\pi}{2}を含まないことについてですが、\tanθの値について考えると0\leqqθ\leqq2\piにおいてθ=\dfrac{\pi}{2}、\dfrac{3\pi}{2}のときは値がありません。
tanθの値のないときのθは範囲に含むことができないので、\tanθに限り0\leqqθ\leqq2\pi0\leqqθ<\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}<θ<\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}<θ\leqq2\piθ=\dfrac{\pi}{2}、\dfrac{3\pi}{2}を除いてできる3つの範囲に分割して考えることになります。

したがって、解は
0\leqqθ<\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}<θ<\frac{4\pi}{3}
となります。

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