三角形の線分の長さを求める

「$\text{AB}=10, \text{BC}=14, ∠\text{ABC}=60°$である$△\text{ABC}$がある。各頂点と$△\text{ABC}$内の点$\text{O}$を結ぶ各直線$\text{AO, BO, CO}$がそれぞれ辺$\text{BC, AC, AB}$と交わる点を$\text{P, Q, R}$をとする。点$\text{P}$は辺$\text{BC}$を$3:4$に内分し、点$\text{R}$は辺$\text{AB}$を$3:2$に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。

(1)$\text{AQ}$

(2)$\text{AO}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

(1)$\text{AQ}$

　$\text{AC}$の長さがわからないので、余弦定理を使って$\text{AC}$の長さを求めます。
余弦定理より

\begin{align*}{\text{AC}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BC}\cos∠\text{ABC}\\[0.5em] &=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cos60°\\ &=100+196-280\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em] &=296-140\\[0.5em]&=156\\[1em]\text{AC}&=\sqrt{156}&(\because \text{AC}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{4×39}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\end{align*}

関連：余弦定理　なぜ成り立つ？

次にチェバの定理を利用して$\text{AQ}:\text{QC}$を求めます。
チェバの定理より

\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{9}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=\frac{9}{8}\end{align*}

関連：チェバの定理

したがって

\[\text{AQ}:\text{QC}=9:8\]

となることから、\text{AQ}の長さは

\begin{align*}\text{AQ}&=\text{AC}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{AC}}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\cdot\frac{9}{9+8}\\[0.5em]&=\frac{18\sqrt{39}}{17}\end{align*}

であることがわかります。

(2)$\text{AO}$

　$\text{AO}$の長さを求める前に$\text{AP}$の長さがわからないので、$△\text{ABP}$に対し余弦定理を使って求めます。
余弦定理より

\begin{align*}{\text{AP}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BP}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BP}\cos∠\text{ABP}\\[0.5em]&=10^2+\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)^2-2\cdot10\cdot\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)\cos60°\\[0.5em]&=76\\[1em]\text{AP}&=\sqrt{76}&(\because \text{AP}>0)\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\end{align*}

次に$\text{AC}$と$\text{BQ}$を消して、$△\text{ABP}$と直線$\text{RC}$に対してメネラウスの定理を使います。
メネラウスの定理より

\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{CP}}{\text{BC}}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3+4}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{21}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=\frac{21}{8}\end{align*}

関連：メネラウスの定理

したがって

\[\text{AO}:\text{PO}=21:8\]

となることから、\text{AO}の長さは

\begin{align*}\text{AO}&=\text{AP}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{AP}}\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\cdot\frac{21}{21+8}\\[0.5em]&=\frac{42\sqrt{19}}{29}\end{align*}

であることがわかります。

関連：余弦定理　なぜ成り立つ？

関連：チェバの定理

関連：メネラウスの定理