Loading web-font TeX/Main/Regular
横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年3月8日

三角形の線分の長さを求める

\text{AB}=10, \text{BC}=14, ∠\text{ABC}=60°である△\text{ABC}がある。各頂点と△\text{ABC}内の点\text{O}を結ぶ各直線\text{AO, BO, CO}がそれぞれ辺\text{BC, AC, AB}と交わる点を\text{P, Q, R}をとする。点\text{P}は辺\text{BC}3:4に内分し、点\text{R}は辺\text{AB}3:2に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。

(1)\text{AQ}

(2)\text{AO}

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

(1)\text{AQ}

 \text{AC}の長さがわからないので、余弦定理を使って\text{AC}の長さを求めます。

余弦定理より
\begin{align*}{\text{AC}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BC}\cos∠\text{ABC}\\[0.5em] &=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cos60°\\ &=100+196-280\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em] &=296-140\\[0.5em]&=156\\[1em]\text{AC}&=\sqrt{156}&(\because \text{AC}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{4×39}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\end{align*}

次にチェバの定理を利用して\text{AQ}:\text{QC}を求めます。

チェバの定理より
\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{9}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=\frac{9}{8}\end{align*}
したがって
\text{AQ}:\text{QC}=9:8
よって\text{AQ}の長さは
\begin{align*}\text{AQ}&=\text{AC}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{AC}}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\cdot\frac{9}{9+8}\\[0.5em]&=\frac{18\sqrt{39}}{17}\end{align*}
となります。

(2)\text{AO}

 \text{AO}の長さを求める前に\text{AP}の長さがわからないので、△\text{ABP}に対し余弦定理を使って求めます。

余弦定理より
\begin{align*}{\text{AP}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BP}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BP}\cos∠\text{ABP}\\[0.5em]&=10^2+\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)^2-2\cdot10\cdot\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)\cos60°\\[0.5em]&=76\\[1em]\text{AP}&=\sqrt{76}&(\because \text{AP}>0)\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\end{align*}

次に\text{AC}\text{BQ}を消して、△\text{ABP}と直線\text{RC}に対してメネラウスの定理を使います。

メネラウスの定理より
\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{CP}}{\text{BC}}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3+4}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{21}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=\frac{21}{8}\end{align*}
したがって
\text{AO}:\text{PO}=21:8
よって\text{AO}の長さは
\begin{align*}\text{AO}&=\text{AP}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{AP}}\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\cdot\frac{21}{21+8}\\[0.5em]&=\frac{42\sqrt{19}}{29}\end{align*}
となります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ