Processing math: 100%
横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年3月8日

三角形の線分の長さを求める

AB=10,BC=14,ABC=60°であるABCがある。各頂点とABC内の点Oを結ぶ各直線AO, BO, COがそれぞれ辺BC, AC, ABと交わる点をP, Q, Rをとする。点Pは辺BC3:4に内分し、点Rは辺AB3:2に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。

(1)AQ

(2)AO

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

(1)AQ

 ACの長さがわからないので、余弦定理を使ってACの長さを求めます。

余弦定理より
AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=102+14221014cos60°=100+19628012=296140=156AC=156(AC>0)=4×39=239

次にチェバの定理を利用してAQ:QCを求めます。

チェバの定理より
RBARPCBPAQQC=12343AQQC=189AQQC=1AQQC=98
したがって
AQ:QC=9:8
よって\text{AQ}の長さは
AQ=ACAQAC=23999+8=183917
となります。

(2)AO

 AOの長さを求める前にAPの長さがわからないので、ABPに対し余弦定理を使って求めます。

余弦定理より
AP2=AB2+BP22ABBPcosABP=102+(33+414)2210(33+414)cos60°=76AP=76(AP>0)=219

次にACBQを消して、ABPと直線RCに対してメネラウスの定理を使います。

メネラウスの定理より
RBARCPBCAOPO=12343+4AOPO=1821AOPO=1AOPO=218
したがって
AO:PO=21:8
よって\text{AO}の長さは
AO=APAOAP=2192121+8=421929
となります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

Blog Archive

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ