(1)AQ
(2)AO」
(1)AQ
ACの長さがわからないので、余弦定理を使ってACの長さを求めます。
余弦定理より
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=102+142−2⋅10⋅14cos60°=100+196−280⋅12=296−140=156AC=√156(∵AC>0)=√4×39=2√39
次にチェバの定理を利用してAQ:QCを求めます。
チェバの定理より
RBAR⋅PCBP⋅AQQC=123⋅43⋅AQQC=189⋅AQQC=1AQQC=98
したがって
AQ:QC=9:8
よって\text{AQ}の長さは
AQ=AC⋅AQAC=2√39⋅99+8=18√3917
となります。(2)AO
余弦定理より
AP2=AB2+BP2−2AB⋅BPcos∠ABP=102+(33+4⋅14)2−2⋅10⋅(33+4⋅14)cos60°=76AP=√76(∵AP>0)=2√19
次にACとBQを消して、△ABPと直線RCに対してメネラウスの定理を使います。
メネラウスの定理より
RBAR⋅CPBC⋅AOPO=123⋅43+4⋅AOPO=1821⋅AOPO=1AOPO=218
したがって
AO:PO=21:8
よって\text{AO}の長さは
AO=AP⋅AOAP=2√19⋅2121+8=42√1929
となります。
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