三角形の線分の長さを求める ~ 数学について考えてみる

2022年3月8日

三角形の線分の長さを求める

PLUMBAGO

「

AB = 10, BC = 14, ∠ ABC = 60 °

$\text{AB}=10, \text{BC}=14, ∠\text{ABC}=60°$ である

△ ABC

$△\text{ABC}$ がある。各頂点と

△ ABC

$△\text{ABC}$ 内の点

O

$\text{O}$ を結ぶ各直線

AO, BO, CO

$\text{AO, BO, CO}$ がそれぞれ辺

BC, AC, AB

$\text{BC, AC, AB}$ と交わる点を

P, Q, R

$\text{P, Q, R}$ をとする。点

P

$\text{P}$ は辺

BC

$\text{BC}$ を

3 : 4

$3:4$ に内分し、点

R

$\text{R}$ は辺

AB

$\text{AB}$ を

3 : 2

$3:2$ に内分するとき以下の線分の長さを求めよ。

(1) $\text{AQ}$

(2) $\text{AO}$ 」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

(1) $\text{AQ}$

　 $\text{AC}$ の長さがわからないので、余弦定理を使って $\text{AC}$ の長さを求めます。

余弦定理より

\begin{aligned} {AC}^{2} & = {AB}^{2} + {BC}^{2} - 2 AB \cdot BC \cos ∠ ABC \\ = 10^{2} + 14^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cos 60 ° \\ = 100 + 196 - 280 \cdot \frac{1}{2} \\ = 296 - 140 \\ = 156 \\ AC & = \sqrt{156} & (∵ AC > 0) \\ = \sqrt{4 \times 39} \\ = 2 \sqrt{39} \end{aligned}

$\begin{align*}{\text{AC}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BC}\cos∠\text{ABC}\\[0.5em] &=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cos60°\\ &=100+196-280\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em] &=296-140\\[0.5em]&=156\\[1em]\text{AC}&=\sqrt{156}&(\because \text{AC}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{4×39}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\end{align*}$

次にチェバの定理を利用して $\text{AQ}:\text{QC}$ を求めます。

チェバの定理より

\begin{aligned} \frac{RB}{AR} \cdot \frac{PC}{BP} \cdot \frac{AQ}{QC} & = 1 \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{AQ}{QC} & = 1 \\ \frac{8}{9} \cdot \frac{AQ}{QC} & = 1 \\ \frac{AQ}{QC} & = \frac{9}{8} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{9}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AQ}}{\text{QC}}&=\frac{9}{8}\end{align*}$

したがって

AQ : QC = 9 : 8

$\text{AQ}:\text{QC}=9:8$

よって\text{AQ}の長さは

\begin{aligned} AQ & = AC \cdot \frac{AQ}{AC} \\ = 2 \sqrt{39} \cdot \frac{9}{9 + 8} \\ = \frac{18 \sqrt{39}}{17} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AQ}&=\text{AC}\cdot\frac{\text{AQ}}{\text{AC}}\\[0.5em]&=2\sqrt{39}\cdot\frac{9}{9+8}\\[0.5em]&=\frac{18\sqrt{39}}{17}\end{align*}$

となります。

(2) $\text{AO}$

　 $\text{AO}$ の長さを求める前に $\text{AP}$ の長さがわからないので、 $△\text{ABP}$ に対し余弦定理を使って求めます。

余弦定理より

\begin{aligned} {AP}^{2} & = {AB}^{2} + {BP}^{2} - 2 AB \cdot BP \cos ∠ ABP \\ = 10^{2} + {(\frac{3}{3 + 4} \cdot 14)}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot (\frac{3}{3 + 4} \cdot 14) \cos 60 ° \\ = 76 \\ AP & = \sqrt{76} & (∵ AP > 0) \\ = 2 \sqrt{19} \end{aligned}

$\begin{align*}{\text{AP}}^2&={\text{AB}}^2+{\text{BP}}^2-2\text{AB}\cdot \text{BP}\cos∠\text{ABP}\\[0.5em]&=10^2+\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)^2-2\cdot10\cdot\left(\frac{3}{3+4}\cdot14\right)\cos60°\\[0.5em]&=76\\[1em]\text{AP}&=\sqrt{76}&(\because \text{AP}>0)\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\end{align*}$

次に $\text{AC}$ と $\text{BQ}$ を消して、 $△\text{ABP}$ と直線 $\text{RC}$ に対してメネラウスの定理を使います。

メネラウスの定理より

\begin{aligned} \frac{RB}{AR} \cdot \frac{CP}{BC} \cdot \frac{AO}{PO} & = 1 \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3 + 4} \cdot \frac{AO}{PO} & = 1 \\ \frac{8}{21} \cdot \frac{AO}{PO} & = 1 \\ \frac{AO}{PO} & = \frac{21}{8} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{CP}}{\text{BC}}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3+4}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{8}{21}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=1\\[0.5em]\frac{\text{AO}}{\text{PO}}&=\frac{21}{8}\end{align*}$

したがって

AO : PO = 21 : 8

$\text{AO}:\text{PO}=21:8$

よって\text{AO}の長さは

\begin{aligned} AO & = AP \cdot \frac{AO}{AP} \\ = 2 \sqrt{19} \cdot \frac{21}{21 + 8} \\ = \frac{42 \sqrt{19}}{29} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AO}&=\text{AP}\cdot\frac{\text{AO}}{\text{AP}}\\[0.5em]&=2\sqrt{19}\cdot\frac{21}{21+8}\\[0.5em]&=\frac{42\sqrt{19}}{29}\end{align*}$

となります。