ねじれの位置にある辺を挙げる前に、交わる辺と平行な辺がどれなのかを挙げてみます。
交わる辺
交わる辺には以下のような特徴があります。
- 2つの辺は同一平面上にある。
- 2つの辺を延長したときただ1つの共有点をもつ。
辺$AB$と自身を延長して交わっている辺は$AD,AE,BC,BF$の4つです。それ以外の辺は延長しても交わることはありません。
したがって、辺$AB$と交わる辺は$AD,AE,BC,BF$の4つであることがわかります。
直方体の交わる辺はすべて直交しているので、垂直な辺でもあります。
ちなみに$AB$に垂直な辺は先の4辺に加え$CG,DH,EH,FG$が当てはまります。
垂直な辺とは平行移動すれば直交する辺のことだからです。
平行な辺
互いに平行な辺には以下のような特徴があります。
- 2つの辺は同一平面上にある。
- 2つの辺を延長しても共有点がない。
辺$AB$に垂直でない辺で同一平面上にある辺を挙げてみます。
前述の辺$AB$を含む平面、面$ABCD$と面$ABEF$の中で垂直でない辺は$CD,EF$です。
面$ABCD$と面$ABEF$は長方形であるから辺$AB$の対辺である辺$CD,EF$は平行であることがわかります。
辺$AB$は辺$AD,AE,BC,BF$と垂直であるから辺$AD,AE$のある面$ADHE$、辺$BC,BF$のある面$BCGF$と辺$AB$は垂直です。
したがって、面$ADHE$の対角線$AH$、面$BCGF$の対角線$BG$とも辺$AB$は垂直です。
このことから辺$AB,AH,BG$は同一平面上にあり、$AB⊥AH,AB⊥BG$で面$ADHE$と面$BCGF$は合同、すなわち$AH=BG$であるから同一平面である面$ABGH$は長方形であることがわかります。
よって、面$ABGH$において辺$AB$とその対辺である辺$HG$は平行であることがわかります。
もしくは面$CDHG$において$CD//HG$であるから$AB//CD//HG$、すなわち$AB//HG$であるというように平行であることを確かめることができます。
以上より辺$AB$と平行な辺は$CD,EF,HG$の3つであることがわかります。
ねじれの位置にある辺
ねじれの位置にある辺は交わる辺、平行な辺のどちらにも当てはまらない辺のことを指します。
特に両者に共通する「同一平面上にある」という特徴に当てはまらないものを指します。
したがって、交わらず平行でもない辺である辺$CG,DH,EH,FG$の4つがねじれの位置にある辺となります。
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