正方行列
正方行列とは、行数と列数が等しい行列のことです。
例えば、3行3列の行列は3次正方行列と呼びます。
\begin{align*}(a)\ \left(\begin{array}{r}1&2&3\\ 2&3&4\\ 3&4&5\end{array}\right)\qquad&(b)\ \left(\begin{array}{r}1&2&3\\ 0&3&4\\ 0&0&4\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1&0&0\\ 1&2&0\\ 2&3&4\end{array}\right)\\ (c)\ \left(\begin{array}{r}1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3\end{array}\right)\qquad&(d)\left(\begin{array}{r}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\end{align*}
(a)対称行列、(b)三角行列、(c)対角行列、(d)単位行列は正方行列でないと成り立たない行列なので、正方行列はこれらの行列の必要条件となります。
正則行列
正則行列とは、正方行列のうち逆行列を持つ行列のことで
行列$A$と逆行列$B$には
\[AB=BA=I\quad(I:単位行列)\]
が成り立ちます。互いを逆行列としており、行列では一般に成り立たない交換法則が成り立ちます。
2次の正則行列
\[\left(\begin{array}{r}a&b\\ c&d\end{array}\right)\]
の逆行列は
\[\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{r}d&-b\\ -c&a\end{array}\right)\]
となり、逆行列を持つ条件は$ad-bc\neq0$となります。
したがって、この条件を満たさない正方行列は正則行列でないということになります。
また、正方行列の中に正則行列が含まれていることから正方行列は正則行列の必要条件でもあることがわかります。
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