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\[\large\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{QA}}{\text{CQ}}=1\]
が成り立つという定理です。
赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。
これはなぜ成り立つのでしょうか？
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$\dfrac{\text{RB}}{\text{AR}}$を比の形にすると$\text{RB}:\text{AR}$となり、$\text{AB}$の一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
また同様に$\text{PR}$を底辺としたとき$△\text{APR}$と$△\text{APQ}$との関係は
\[\text{RB}:\text{AR}=△\text{BPR}:△\text{APR}\]
ここで$\text{PR}$を底辺としたとき$△\text{BPR}$と$△\text{BPQ}$との関係は
\[△\text{BPR}=\frac{\text{PR}}{\text{PQ}}△\text{BPQ}\]
となります。また同様に$\text{PR}$を底辺としたとき$△\text{APR}$と$△\text{APQ}$との関係は
\[△\text{APR}=\frac{\text{PR}}{\text{PQ}}△\text{APQ}\]
となります。
したがって、
\begin{align*}\text{RB}:\text{AR}&=\frac{\text{PR}}{\text{PQ}}△\text{BPQ}:\frac{\text{PR}}{\text{PQ}}△\text{APQ}=△\text{BPQ}:△\text{APQ}\\[0.5em]\frac{\text{RB}}{\text{AR}}&=\frac{△\text{BPQ}}{△\text{APQ}}\tag1\end{align*}
と書けます。
$\dfrac{\text{PC}}{\text{BP}}$を比の形にすると$\text{PC}:\text{BP}$となり、$\text{BP}$またはその一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
\begin{align*}\text{PC}:\text{BP}&=△\text{CPQ}:△\text{BPQ}\\[0.5em]\frac{\text{PC}}{\text{BP}}&=\frac{△\text{CPQ}}{△\text{BPQ}}\tag2\end{align*}
となります。
$\dfrac{\text{QA}}{\text{CQ}}$を比の形にすると$\text{QA}:\text{CQ}$となり、$\text{AC}$の一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
\begin{align*}\text{QA}:\text{CQ}&=△\text{APQ}:△\text{CPQ}\\[0.5em]\frac{\text{QA}}{\text{CQ}}&=\frac{△\text{APQ}}{△\text{CPQ}}\tag3\end{align*}
となります。
$(1),(2),(3)$より
\begin{align*}\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{QA}}{\text{CQ}}&=\frac{△\text{BPQ}}{△\text{APQ}}\cdot\frac{△\text{CPQ}}{△\text{BPQ}}\cdot\frac{△\text{APQ}}{△\text{CPQ}}\\[0.5em]\therefore\frac{\text{RB}}{\text{AR}}\cdot\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\cdot\frac{\text{QA}}{\text{CQ}}&=1\end{align*}
となり、メネラウスの定理が成り立つことがわかります。
すると、分母に$0$が現れてメネラウスの定理の式が成り立たなくなります。
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チェバの定理との違いは直線は1本だけであること、その直線は三角形のどの頂点も通らないことです。
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