メネラウスの定理とは、
$△ABC$の辺$BC, CA,
AB$またはその延長と、どの頂点も通らない直線との交点をそれぞれ$P, Q,
R$とする。
という定理のことです。
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| メネラウスの定理 直線が$△ABC$を横切る場合 |
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| メネラウスの定理 直線が$△ABC$を横切らない場合 |
このとき、
\[\large \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1\]
が成り立つ。
$\dfrac{BP}{PC}, \dfrac{CQ}{QA}, \dfrac{AR}{RB}$はそれぞれ辺$BC, CA,
AB$を内分または外分したときの線分比、すなわち内分比または外分比で、比の値という形で表されています。
なぜこれが成り立つのかを確かめてみます。
$△APQ, △BPQ,
△CPQ$の面積を利用してメネラウスの定理が成り立つことを確かめます。
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| 直線が$△ABC$を横切る場合 |
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| 直線が$△ABC$を横切らない場合 |
$△BPQ$の辺$BP$、$△CPQ$の辺$PC$を底辺とすると、これらの三角形は高さが等しいので、面積比は底辺の長さの比に等しく、
\[\triangle BPQ:\triangle CPQ=BP:PC\]
が成り立つことがわかります。
これを変形すると、
\begin{align*}PC\cdot\triangle BPQ&=BP\cdot\triangle
CPQ\\[0.5em]\frac{\triangle BPQ}{\triangle
CPQ}&=\frac{BP}{PC}\tag1\end{align*}
となります。
同様の方法によって、線分$CR$を引いての$△CQR$と$△AQR$、線分$AP$を引いての$△APR$と$△BPR$の面積比より
\begin{align*}\frac{\triangle CQR}{\triangle
AQR}&=\frac{CQ}{QA}\tag2\\[1em]\frac{\triangle APR}{\triangle
BPR}&=\frac{AR}{RB}\tag3\end{align*}
が得られます。
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| 直線が$△ABC$を横切る場合 |
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| 直線が$△ABC$を横切らない場合 |
$△CQR$の辺$QR$、$△CPQ$の辺$PQ$を底辺とすると、これらの三角形は高さが等しいので、面積比は底辺の長さの比に等しく、
\[\triangle CQR:\triangle CPQ=QR:PQ\]
が成り立ちます。
これを変形すると、
\begin{align*}QR\cdot\triangle CPQ&=PQ\cdot\triangle
CQR\\[0.5em]\triangle CPQ&=\frac{PQ}{QR}\triangle CPQ\tag4\end{align*}
となります。
同様の方法によって、$△AQR$と$△APQ$、$△APR$と$△APQ$、$△BPR$と$△BPQ$の面積比より
\begin{align*}\triangle AQR&=\frac{PQ}{QR}\triangle
APQ\tag5\\[1em]\triangle APR&=\frac{PQ}{PR}\triangle
APQ\tag6\\[1em]\triangle BPR&=\frac{PQ}{PR}\triangle
BPQ\tag7\end{align*}
を得ます。
$(2), (4), (5)$より
\begin{align*}\frac{\frac{PQ}{QR}\triangle CPQ}{\frac{PQ}{QR}\triangle
APQ}&=\frac{CQ}{QA}\\[0.5em]\therefore \frac{\triangle CPQ}{\triangle
APQ}&=\frac{CQ}{QA}\tag8\end{align*}
$(3), (6), (7)$より
\begin{align*}\frac{\frac{PQ}{PR}\triangle APQ}{\frac{PQ}{PR}\triangle
BPQ}&=\frac{AR}{RB}\\[0.5em]\frac{\triangle APQ}{\triangle
BPQ}&=\frac{AR}{RB}\tag9\end{align*}
となります。
$(1), (8), (9)$の辺々を掛け合わせると
\begin{align*}\frac{\triangle BPQ}{\triangle CPQ}\cdot\frac{\triangle
CPQ}{\triangle APQ}\cdot\frac{\triangle APQ}{\triangle
BPQ}&=\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}\\[0.5em]1&=\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}\\[0.5em]\large\therefore\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}&\large=1\end{align*}
となり、メネラウスの定理が成り立つことがわかります。
メネラウスの定理が成り立たないとき
直線は$△ABC$のどの頂点も通らないことが条件となっています。
これは、線分の長さが$0$になるものが現れることで比の一部が定義できなくなり、メネラウスの定理が成り立たなくなるからです。
これは、線分の長さが$0$になるものが現れることで比の一部が定義できなくなり、メネラウスの定理が成り立たなくなるからです。
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すると、線分$QA, AR$の長さが$0$となります。
特に、線分$QA$の長さが$0$になったことによって、$\dfrac{CQ}{QA}$の値が定義できないため、メネラウスの定理が成り立たなくなります。
また、直線と$△ABC$の各辺またはその延長との交点、すなわち点$P, Q,
R$が必ず存在することもメネラウスの定理が成り立つための条件となります。
直線が$△ABC$のいずれかの辺と平行なとき、その辺または延長と交点をもたなくなり、メネラウスの定理は成り立たなくなります。
直線が$△ABC$のいずれかの辺と平行なとき、その辺または延長と交点をもたなくなり、メネラウスの定理は成り立たなくなります。
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ゆえに、点$P$が定まらないことで$\dfrac{BP}{PC}$の値が定義できないため、メネラウスの定理が成り立たなくなります。
(2026/9)内容を修正しました。
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