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\[\large\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}=1\]
が成り立つという定理です。
赤い矢印のループの任意の頂点の位置から開始し、分数の分母と分子に交互に線分の長さ、または内分・外分比を入れながら一巡すれば上の式をつくることができます。
これはなぜ成り立つのでしょうか？
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$\dfrac{RB}{AR}$を比の形にすると$RB:AR$となり、$AB$の一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
また同様に$PR$を底辺としたとき$△APR$と$△APQ$との関係は
\[RB:AR=△BPR:△APR\]
ここで$PR$を底辺としたとき$△BPR$と$△BPQ$との関係は
\[△BPR=\frac{PR}{PQ}△BPQ\]
となります。また同様に$PR$を底辺としたとき$△APR$と$△APQ$との関係は
\[△APR=\frac{PR}{PQ}△APQ\]
となります。
したがって、
\begin{align*}RB:AR&=\frac{PR}{PQ}△BPQ:\frac{PR}{PQ}△APQ=△BPQ:△APQ\\[0.5em]\frac{RB}{AR}&=\frac{△BPQ}{△APQ}\tag1\end{align*}
と書けます。
$\dfrac{PC}{BP}$を比の形にすると$PC:BP$となり、$BP$またはその一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
\begin{align*}PC:BP&=△CPQ:△BPQ\\[0.5em]\frac{PC}{BP}&=\frac{△CPQ}{△BPQ}\tag2\end{align*}
となります。
$\dfrac{QA}{CQ}$を比の形にすると$QA:CQ$となり、$AC$の一部を底辺とする三角形の面積比と考えると
\begin{align*}QA:CQ&=△APQ:△CPQ\\[0.5em]\frac{QA}{CQ}&=\frac{△APQ}{△CPQ}\tag3\end{align*}
となります。
$(1),(2),(3)$より
\begin{align*}\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}&=\frac{△BPQ}{△APQ}\cdot\frac{△CPQ}{△BPQ}\cdot\frac{△APQ}{△CPQ}\\[0.5em]\therefore\frac{RB}{AR}\cdot\frac{PC}{BP}\cdot\frac{QA}{CQ}&=1\end{align*}
となり、メネラウスの定理が成り立つことがわかります。
すると、分母に$0$が現れてメネラウスの定理の式が成り立たなくなります。
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チェバの定理との違いは直線は1本だけであること、その直線は三角形のどの頂点も通らないことです。
(2024/12)加筆・一部修正しました。
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