フェルマーの小定理とは、
互いに素な整数$a$と素数$p$について
という定理のことです。
\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}
が成り立つ。
これが成り立つことを確かめてみます。
まず、「連続する整数の倍数を自然数で割ったときの余りの性質」より、
素数$p$と互いに素な整数$a$について、
といえます。
\[a, 2a, 3a, \cdots,(p-2)a, (p-1)a, pa\]
をそれぞれ$p$で割ったときの余りを一列に並べたものは
\[0, 1, 2, \cdots, p-3, p-2,p-1\]
の並べ替えである。
ここで、必ず$pa$を$p$で割ったときの余りが$0$であることに着目すれば、$pa$を除いて
ということができます。
\[a, 2a, 3a, \cdots, (p-3)a, (p-2)a, (p-1)a\]
をそれぞれ$p$で割ったときの余りを一列に並べたものは
\[1, 2, 3, \cdots, p-3, p-2, p-1\]
の並べ替えである。
このことから、$a, 2a, 3a, \cdots,$ $(p-3)a, (p-2)a,
(p-1)a$をすべて掛け合わせると、合同式で
\begin{align*}a\times2a\times3a\times\cdots\times(p-3)a\times(p-2)a\times(p-1)a&\equiv1\times2\times3\times\cdots\times(p-3)\times(p-2)\times(p-1)\pmod
p\\[0.5em](p-1)!a^{p-1}&\equiv(p-1)!\pmod p\end{align*}
と書くことができます。
ウィルソンの定理より$(p-1)!\equiv-1\pmod p$なので
\[-a^{p-1}\equiv-1\pmod p\]
となり、両辺に$-1$を掛ければ
\[a^{p-1}\equiv1\pmod p\]
となります。
したがって、フェルマーの小定理が成り立つことがわかります。
フェルマーの小定理の任意の整数への拡張
フェルマーの小定理より、
互いに素な整数$a$と素数$p$について、$(1)$の両辺に$a$を掛けた
ですが、$(2)$においては$a$と$p$は互いに素である必要はなく、$a$は任意の整数でも成り立ちます。
\begin{equation}a^p\equiv a\pmod p\end{equation}
も成り立ちます。
整数$a$と素数$p$が互いに素でないとき、$p$は素数なので$a$は$p$の倍数となり、$a=kp$（$k:$整数）とおくことができます。
すると、
\begin{align*}a=kp&\equiv0\pmod p\\[0.5em]a^p&\equiv0^p=0\pmod
p\end{align*}
となり、$a$と$p$が互いに素でないときも$(2)$が成り立つことがわかります。
素数$p$に対し、任意の整数は$p$と互いに素であるか、互いに素でないかのいずれかとなります。
整数$a$が$p$と互いに素であっても、互いに素でなくても$(2)$が成り立つので、$(2)$は任意の整数$a$と素数$p$について成り立つことがわかります。
(2026/9)内容を修正しました。
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