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2024年12月9日

関数のグラフを伸び縮みさせる

 関数y=f(x)by=f(ax)a,b:正実数)それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか?

y=f(x)y=f(ax)のグラフ

 関数y=f(x)y=f(ax)a:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

y=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。

y=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=\dfrac{p}{a}のときであり、x=\dfrac{p}{a}における点\text{P'}の座標は\left(\dfrac{p}{a},f\left(\dfrac{p}{a}\right)\right)となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}\bigl(q,f(q)\bigr)となります。

y=f(ax)において、ax=qすなわちx=\dfrac{q}{a}における点\text{Q'}\left(\dfrac{q}{a},f(q)\right)となります。


y=f(x)とy=f(ax)のグラフ a<0の場合
\text{P',Q'}の座標はそれぞれ対応する点\text{P,Q}と等しいy座標をもちますが、x座標は\dfrac{1}{a}倍したものとなっています。
x座標の差に着目すると点\text{P,Q}q-p、点\text{P',Q'}\dfrac{q}{a}-\dfrac{p}{a}=\dfrac{q-p}{a}であり、y=f(ax)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを\dfrac{1}{a}倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、y=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に\dfrac{1}{a}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<a<1のときは引き伸ばし、a>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件はx=\dfrac{x}{a}で、これを満たすのはx=0なので、y=f(x)y=f(ax)x=0における点は同一となります。

y=f(x)by=f(x)のグラフ

 関数y=f(x)by=f(x)b:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。

by=f(x)においてもf(p)となるときとはx=pのときです。
両辺をbで割るとy=\dfrac{f(x)}{b}となることより、x=pにおける点\text{P''}の座標は\left(p,\dfrac{f(p)}{b}\right)となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}\bigl(q,f(q)\bigr)となります。

by=f(x)において、x=qにおける点\text{Q''}\left(q,\dfrac{f(q)}{b}\right)となります。


y=f(x)とby=f(x)のグラフ b<0の場合
\text{P'',Q''}の座標はそれぞれ対応する点\text{P,Q}と等しいx座標をもちますが、y座標は\dfrac{1}{b}倍したものとなっています。
y座標の差に着目すると点\text{P,Q}f(q)-f(p)、点\text{P'',Q''}\dfrac{f(q)}{b}-\dfrac{f(p)}{b}=\dfrac{f(q)-f(p)}{b}であり、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のy軸方向の開きを\dfrac{1}{b}倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、by=f(x)のグラフはy=f(x)のグラフをy軸方向に\dfrac{1}{b}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<b<1のときは引き伸ばし、b>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件はf(x)=\dfrac{f(x)}{b}で、これを満たすのはf(x)=0なので、y=f(x)y=f(ax)のy座標が0の点は同一となります。

y=f(x)by=f(ax)のグラフ

 関数y=f(x)by=f(ax)a,b:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。

by=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=\dfrac{p}{a}のときです。
両辺をbで割るとy=\dfrac{f(ax)}{b}となることより、x=\dfrac{p}{a}における点\text{P'''}の座標は\left(\dfrac{p}{a},\dfrac{f(p)}{b}\right)となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}\bigl(q,f(q)\bigr)となります。

by=f(ax)において、x=\dfrac{q}{a}における点\text{Q'''}\left(\dfrac{q}{a},\dfrac{f(q)}{b}\right)となります。


y=f(x)とby=f(ax)のグラフ a<0,b<0の場合
\text{P''',Q'''}の座標はそれぞれ対応する点\text{P,Q}のx座標を\dfrac{1}{a}倍、y座標を\dfrac{1}{b}倍したものとなっています。
上述の通り、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを\dfrac{1}{a}倍、y軸方向の開きを\dfrac{1}{b}倍したものとなります。

これはすなわち、by=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に\dfrac{1}{a}倍、y軸方向に\dfrac{1}{b}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
上述の通り、0<a<1,0<b<1のときは引き伸ばし、a>1,b>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件は
\begin{cases}x=\frac{x}{a}\\[0.5em]f(x)=\frac{f(x)}{b}\end{cases}
で、これを満たすのはx=0かつf(x)=0なので、y=f(x)のグラフが原点を通るとき必ずby=f(ax)のグラフも原点を通ります。
y=f(x)とay=f(ax)のグラフ a<0の場合
 また、a=bのときの点\text{P,Q}間の距離\text{PQ}と点\text{P''',Q'''}間の距離\text{P'''Q'''}に着目すると
\begin{align*}\text{PQ}&=\sqrt{(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2}\\[1em]\text{P'''Q'''}&=\sqrt{\left(\frac{q}{a}-\frac{p}{a}\right)^2+\left\{\frac{f(q)}{a}-\frac{f(p)}{a}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2(q-p)^2+\left(\frac{1}{a}\right)^2\{f(q)-f(p)\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2\left[(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2\right]}\\[0.5em]&=\frac{1}{a}\sqrt{(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2}\\[0.5em]\therefore \text{P'''Q'''}&=\frac{1}{2}\text{PQ}\end{align*}
となり、\text{P'''Q'''}\text{PQ}\dfrac{1}{a}倍したものとなります。

これはすなわち、ay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをどの方向にも\dfrac{1}{a}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
言い換えればay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフを\dfrac{1}{a}倍に拡大・縮小したものである、両者のグラフは互いに相似であるということです。
0<a<1のときは拡大、a>1のときは縮小となります。


a,bが負の場合は、関数のグラフの対称移動との組み合わせとなります。
(2024/12)引き伸ばし・押し縮め、拡大・縮小の条件に誤りがありましたので修正しました。
申し訳ありませんでした。
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