y=f(x)とy=f(ax)のグラフ
y=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。
y=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=\dfrac{p}{a}のときであり、x=\dfrac{p}{a}における点\text{P'}の座標は\left(\dfrac{p}{a},f\left(\dfrac{p}{a}\right)\right)となります。
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}は\bigl(q,f(q)\bigr)となります。
y=f(ax)において、ax=qすなわちx=\dfrac{q}{a}における点\text{Q'}は\left(\dfrac{q}{a},f(q)\right)となります。
x座標の差に着目すると点\text{P,Q}はq-p、点\text{P',Q'}は\dfrac{q}{a}-\dfrac{p}{a}=\dfrac{q-p}{a}であり、y=f(ax)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを\dfrac{1}{a}倍したものとなることがわかります。
これはすなわち、y=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に\dfrac{1}{a}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<a<1のときは引き伸ばし、a>1のときは押し縮めとなります。
y=f(x)とby=f(x)のグラフ
先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。
by=f(x)においてもf(p)となるときとはx=pのときです。
両辺をbで割るとy=\dfrac{f(x)}{b}となることより、x=pにおける点\text{P''}の座標は\left(p,\dfrac{f(p)}{b}\right)となります。
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}は\bigl(q,f(q)\bigr)となります。
by=f(x)において、x=qにおける点\text{Q''}は\left(q,\dfrac{f(q)}{b}\right)となります。
y座標の差に着目すると点\text{P,Q}はf(q)-f(p)、点\text{P'',Q''}は\dfrac{f(q)}{b}-\dfrac{f(p)}{b}=\dfrac{f(q)-f(p)}{b}であり、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のy軸方向の開きを\dfrac{1}{b}倍したものとなることがわかります。
これはすなわち、by=f(x)のグラフはy=f(x)のグラフをy軸方向に\dfrac{1}{b}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<b<1のときは引き伸ばし、b>1のときは押し縮めとなります。
y=f(x)とby=f(ax)のグラフ
先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点\text{P}の座標は\bigl(p,f(p)\bigr)となります。
by=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=\dfrac{p}{a}のときです。
両辺をbで割るとy=\dfrac{f(ax)}{b}となることより、x=\dfrac{p}{a}における点\text{P'''}の座標は\left(\dfrac{p}{a},\dfrac{f(p)}{b}\right)となります。
y=f(x)において、x=qにおける点\text{Q}は\bigl(q,f(q)\bigr)となります。
by=f(ax)において、x=\dfrac{q}{a}における点\text{Q'''}は\left(\dfrac{q}{a},\dfrac{f(q)}{b}\right)となります。
上述の通り、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを\dfrac{1}{a}倍、y軸方向の開きを\dfrac{1}{b}倍したものとなります。
これはすなわち、by=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に\dfrac{1}{a}倍、y軸方向に\dfrac{1}{b}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
上述の通り、0<a<1,0<b<1のときは引き伸ばし、a>1,b>1のときは押し縮めとなります。
これはすなわち、ay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをどの方向にも\dfrac{1}{a}倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
言い換えればay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフを\dfrac{1}{a}倍に拡大・縮小したものである、両者のグラフは互いに相似であるということです。
0<a<1のときは拡大、a>1のときは縮小となります。