関数のグラフを伸び縮みさせる ~ 数学について考えてみる

　関数

y = f (x)

$y=f(x)$ と

b y = f (a x)

$by=f(ax)$ （

a, b :

$a,b:$ 正実数）それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか？

$y=f(x)$ と $y=f(ax)$ のグラフ

　関数

y = f (x)

$y=f(x)$ と

y = f (a x)

$y=f(ax)$ （

a :

$a:$ 正実数）それぞれのグラフの違いを、

f (p)

$f(p)$ となるときの

x, y

$x,y$ の組

(x, y)

$(x,y)$ を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

$y=f(x)$ において、 $f(p)$ となるときとは $x=p$ のときであり、 $x=p$ における点 $\text{P}$ の座標は $\bigl(p,f(p)\bigr)$ となります。

$y=f(ax)$ において、 $f(p)$ となるときとは $ax=p$ すなわち $x=\dfrac{p}{a}$ のときであり、 $x=\dfrac{p}{a}$ における点 $\text{P'}$ の座標は $\left(\dfrac{p}{a},f\left(\dfrac{p}{a}\right)\right)$ となります。

同様に

f (q)

$f(q)$ となるときの点を調べると、

y = f (x)

$y=f(x)$ において、

x = q

$x=q$ における点

Q

$\text{Q}$ は

(q, f (q))

$\bigl(q,f(q)\bigr)$ となります。

$y=f(ax)$ において、 $ax=q$ すなわち $x=\dfrac{q}{a}$ における点 $\text{Q'}$ は $\left(\dfrac{q}{a},f(q)\right)$ となります。

点

P',Q'

$\text{P',Q'}$ の座標はそれぞれ対応する点

P,Q

$\text{P,Q}$ と等しいy座標をもちますが、x座標は

\frac{1}{a}

$\dfrac{1}{a}$ 倍したものとなっています。
x座標の差に着目すると点

P,Q

$\text{P,Q}$ は

q - p

$q-p$ 、点

P',Q'

$\text{P',Q'}$ は

\frac{q}{a} - \frac{p}{a} = \frac{q - p}{a}

$\dfrac{q}{a}-\dfrac{p}{a}=\dfrac{q-p}{a}$ であり、

y = f (a x)

$y=f(ax)$ のグラフ上のどの2点間も

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを

\frac{1}{a}

$\dfrac{1}{a}$ 倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、 $y=f(ax)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフをx軸方向に $\dfrac{1}{a}$ 倍の長さに引き伸ばした（押し縮めた）形をしていることになります。
$0<a<1$ のときは引き伸ばし、 $a>1$ のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件は

x = \frac{x}{a}

$x=\dfrac{x}{a}$ で、これを満たすのは

x = 0

$x=0$ なので、

y = f (x)

$y=f(x)$ と

y = f (a x)

$y=f(ax)$ の

x = 0

$x=0$ における点は同一となります。

$y=f(x)$ と $by=f(x)$ のグラフ

　関数

y = f (x)

$y=f(x)$ と

b y = f (x)

$by=f(x)$ （

b :

$b:$ 正実数）それぞれのグラフの違いを、

f (p)

$f(p)$ となるときの

x, y

$x,y$ の組

(x, y)

$(x,y)$ を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様に $y=f(x)$ において、 $f(p)$ となるときとは $x=p$ のときであり、 $x=p$ における点 $\text{P}$ の座標は $\bigl(p,f(p)\bigr)$ となります。

$by=f(x)$ においても $f(p)$ となるときとは $x=p$ のときです。
両辺を $b$ で割ると $y=\dfrac{f(x)}{b}$ となることより、 $x=p$ における点 $\text{P''}$ の座標は $\left(p,\dfrac{f(p)}{b}\right)$ となります。

同様に

f (q)

$f(q)$ となるときの点を調べると、

y = f (x)

$y=f(x)$ において、

x = q

$x=q$ における点

Q

$\text{Q}$ は

(q, f (q))

$\bigl(q,f(q)\bigr)$ となります。

$by=f(x)$ において、 $x=q$ における点 $\text{Q''}$ は $\left(q,\dfrac{f(q)}{b}\right)$ となります。

点

P'',Q''

$\text{P'',Q''}$ の座標はそれぞれ対応する点

P,Q

$\text{P,Q}$ と等しいx座標をもちますが、y座標は

\frac{1}{b}

$\dfrac{1}{b}$ 倍したものとなっています。
y座標の差に着目すると点

P,Q

$\text{P,Q}$ は

f (q) - f (p)

$f(q)-f(p)$ 、点

P'',Q''

$\text{P'',Q''}$ は

\frac{f (q)}{b} - \frac{f (p)}{b} = \frac{f (q) - f (p)}{b}

$\dfrac{f(q)}{b}-\dfrac{f(p)}{b}=\dfrac{f(q)-f(p)}{b}$ であり、

b y = f (x)

$by=f(x)$ のグラフ上のどの2点間も

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフ上の対応する2点間のy軸方向の開きを

\frac{1}{b}

$\dfrac{1}{b}$ 倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、 $by=f(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフをy軸方向に $\dfrac{1}{b}$ 倍の長さに引き伸ばした（押し縮めた）形をしていることになります。
$0<b<1$ のときは引き伸ばし、 $b>1$ のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件は

f (x) = \frac{f (x)}{b}

$f(x)=\dfrac{f(x)}{b}$ で、これを満たすのは

f (x) = 0

$f(x)=0$ なので、

y = f (x)

$y=f(x)$ と

y = f (a x)

$y=f(ax)$ のy座標が

0

$0$ の点は同一となります。

$y=f(x)$ と $by=f(ax)$ のグラフ

　関数

y = f (x)

$y=f(x)$ と

b y = f (a x)

$by=f(ax)$ （

a, b :

$a,b:$ 正実数）それぞれのグラフの違いを、

f (p)

$f(p)$ となるときの

x, y

$x,y$ の組

(x, y)

$(x,y)$ を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様に $y=f(x)$ において、 $f(p)$ となるときとは $x=p$ のときであり、 $x=p$ における点 $\text{P}$ の座標は $\bigl(p,f(p)\bigr)$ となります。

$by=f(ax)$ において、 $f(p)$ となるときとは $ax=p$ すなわち $x=\dfrac{p}{a}$ のときです。
両辺を $b$ で割ると $y=\dfrac{f(ax)}{b}$ となることより、 $x=\dfrac{p}{a}$ における点 $\text{P'''}$ の座標は $\left(\dfrac{p}{a},\dfrac{f(p)}{b}\right)$ となります。

同様に

f (q)

$f(q)$ となるときの点を調べると、

y = f (x)

$y=f(x)$ において、

x = q

$x=q$ における点

Q

$\text{Q}$ は

(q, f (q))

$\bigl(q,f(q)\bigr)$ となります。

$by=f(ax)$ において、 $x=\dfrac{q}{a}$ における点 $\text{Q'''}$ は $\left(\dfrac{q}{a},\dfrac{f(q)}{b}\right)$ となります。

点

P''',Q'''

$\text{P''',Q'''}$ の座標はそれぞれ対応する点

P,Q

$\text{P,Q}$ のx座標を

\frac{1}{a}

$\dfrac{1}{a}$ 倍、y座標を

\frac{1}{b}

$\dfrac{1}{b}$ 倍したものとなっています。
上述の通り、

b y = f (x)

$by=f(x)$ のグラフ上のどの2点間も

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを

\frac{1}{a}

$\dfrac{1}{a}$ 倍、y軸方向の開きを

\frac{1}{b}

$\dfrac{1}{b}$ 倍したものとなります。

これはすなわち、 $by=f(ax)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフをx軸方向に $\dfrac{1}{a}$ 倍、y軸方向に $\dfrac{1}{b}$ 倍の長さに引き伸ばした（押し縮めた）形をしていることになります。
上述の通り、 $0<a<1,0<b<1$ のときは引き伸ばし、 $a>1,b>1$ のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件は

{\begin{cases} x = \frac{x}{a} \\ f (x) = \frac{f (x)}{b} \end{cases}

$\begin{cases}x=\frac{x}{a}\\[0.5em]f(x)=\frac{f(x)}{b}\end{cases}$

で、これを満たすのは

x = 0

$x=0$ かつ

f (x) = 0

$f(x)=0$ なので、

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフが原点を通るとき必ず

b y = f (a x)

$by=f(ax)$ のグラフも原点を通ります。

　また、

a = b

$a=b$ のときの点

P,Q

$\text{P,Q}$ 間の距離

PQ

$\text{PQ}$ と点

P''',Q'''

$\text{P''',Q'''}$ 間の距離

P'''Q'''

$\text{P'''Q'''}$ に着目すると

\begin{aligned} PQ & = \sqrt{(q - p)^{2} + {f (q) - f (p)}^{2}} \\ P'''Q''' & = \sqrt{{(\frac{q}{a} - \frac{p}{a})}^{2} + {\frac{f (q)}{a} - \frac{f (p)}{a}}^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} (q - p)^{2} + {(\frac{1}{a})}^{2} {f (q) - f (p)}^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} [(q - p)^{2} + {f (q) - f (p)}^{2}]} \\ = \frac{1}{a} \sqrt{(q - p)^{2} + {f (q) - f (p)}^{2}} \\ ∴ P'''Q''' & = \frac{1}{2} PQ \end{aligned}

$\begin{align*}\text{PQ}&=\sqrt{(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2}\\[1em]\text{P'''Q'''}&=\sqrt{\left(\frac{q}{a}-\frac{p}{a}\right)^2+\left\{\frac{f(q)}{a}-\frac{f(p)}{a}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2(q-p)^2+\left(\frac{1}{a}\right)^2\{f(q)-f(p)\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2\left[(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2\right]}\\[0.5em]&=\frac{1}{a}\sqrt{(q-p)^2+\{f(q)-f(p)\}^2}\\[0.5em]\therefore \text{P'''Q'''}&=\frac{1}{2}\text{PQ}\end{align*}$

となり、

P'''Q'''

$\text{P'''Q'''}$ は

PQ

$\text{PQ}$ を

\frac{1}{a}

$\dfrac{1}{a}$ 倍したものとなります。

これはすなわち、 $ay=f(ax)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフをどの方向にも $\dfrac{1}{a}$ 倍の長さに引き伸ばした（押し縮めた）形をしていることになります。
言い換えれば $ay=f(ax)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $\dfrac{1}{a}$ 倍に拡大・縮小したものである、両者のグラフは互いに相似であるということです。
$0<a<1$ のときは拡大、 $a>1$ のときは縮小となります。