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2024年12月9日

関数のグラフを伸び縮みさせる

 関数y=f(x)by=f(ax)a,b:正実数)それぞれのグラフにはどのような違いがあるでしょうか?

y=f(x)y=f(ax)のグラフ

 関数y=f(x)y=f(ax)a:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

y=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点Pの座標は(p,f(p))となります。

y=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=paのときであり、x=paにおける点P'の座標は(pa,f(pa))となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点Q(q,f(q))となります。

y=f(ax)において、ax=qすなわちx=qaにおける点Q'(qa,f(q))となります。


y=f(x)とy=f(ax)のグラフ a<0の場合
P',Q'の座標はそれぞれ対応する点P,Qと等しいy座標をもちますが、x座標は1a倍したものとなっています。
x座標の差に着目すると点P,Qqp、点P',Q'qapa=qpaであり、y=f(ax)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを1a倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、y=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に1a倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<a<1のときは引き伸ばし、a>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件はx=xaで、これを満たすのはx=0なので、y=f(x)y=f(ax)x=0における点は同一となります。

y=f(x)by=f(x)のグラフ

 関数y=f(x)by=f(x)b:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点Pの座標は(p,f(p))となります。

by=f(x)においてもf(p)となるときとはx=pのときです。
両辺をbで割るとy=f(x)bとなることより、x=pにおける点P''の座標は(p,f(p)b)となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点Q(q,f(q))となります。

by=f(x)において、x=qにおける点Q''(q,f(q)b)となります。


y=f(x)とby=f(x)のグラフ b<0の場合
P'',Q''の座標はそれぞれ対応する点P,Qと等しいx座標をもちますが、y座標は1b倍したものとなっています。
y座標の差に着目すると点P,Qf(q)f(p)、点P'',Q''f(q)bf(p)b=f(q)f(p)bであり、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のy軸方向の開きを1b倍したものとなることがわかります。

これはすなわち、by=f(x)のグラフはy=f(x)のグラフをy軸方向に1b倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
0<b<1のときは引き伸ばし、b>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件はf(x)=f(x)bで、これを満たすのはf(x)=0なので、y=f(x)y=f(ax)のy座標が0の点は同一となります。

y=f(x)by=f(ax)のグラフ

 関数y=f(x)by=f(ax)a,b:正実数)それぞれのグラフの違いを、f(p)となるときのx,yの組(x,y)を座標とする点同士を対応させることで調べてみます。

先ほどと同様にy=f(x)において、f(p)となるときとはx=pのときであり、x=pにおける点Pの座標は(p,f(p))となります。

by=f(ax)において、f(p)となるときとはax=pすなわちx=paのときです。
両辺をbで割るとy=f(ax)bとなることより、x=paにおける点P'''の座標は(pa,f(p)b)となります。

同様にf(q)となるときの点を調べると、
y=f(x)において、x=qにおける点Q(q,f(q))となります。

by=f(ax)において、x=qaにおける点Q'''(qa,f(q)b)となります。


y=f(x)とby=f(ax)のグラフ a<0,b<0の場合
P''',Q'''の座標はそれぞれ対応する点P,Qのx座標を1a倍、y座標を1b倍したものとなっています。
上述の通り、by=f(x)のグラフ上のどの2点間もy=f(x)のグラフ上の対応する2点間のx軸方向の開きを1a倍、y軸方向の開きを1b倍したものとなります。

これはすなわち、by=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に1a倍、y軸方向に1b倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
上述の通り、0<a<1,0<b<1のときは引き伸ばし、a>1,b>1のときは押し縮めとなります。

対応する点の座標が一致する条件は
{x=xaf(x)=f(x)b
で、これを満たすのはx=0かつf(x)=0なので、y=f(x)のグラフが原点を通るとき必ずby=f(ax)のグラフも原点を通ります。
y=f(x)とay=f(ax)のグラフ a<0の場合
 また、a=bのときの点P,Q間の距離PQと点P''',Q'''間の距離P'''Q'''に着目すると
PQ=(qp)2+{f(q)f(p)}2P'''Q'''=(qapa)2+{f(q)af(p)a}2=(1a)2(qp)2+(1a)2{f(q)f(p)}2=(1a)2[(qp)2+{f(q)f(p)}2]=1a(qp)2+{f(q)f(p)}2P'''Q'''=12PQ
となり、P'''Q'''PQ1a倍したものとなります。

これはすなわち、ay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフをどの方向にも1a倍の長さに引き伸ばした(押し縮めた)形をしていることになります。
言い換えればay=f(ax)のグラフはy=f(x)のグラフを1a倍に拡大・縮小したものである、両者のグラフは互いに相似であるということです。
0<a<1のときは拡大、a>1のときは縮小となります。


a,bが負の場合は、関数のグラフの対称移動との組み合わせとなります。
(2024/12)引き伸ばし・押し縮め、拡大・縮小の条件に誤りがありましたので修正しました。
申し訳ありませんでした。
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