関数のグラフの回転移動

　関数$y=f(x)$のグラフをある点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動させたとき、移動後のグラフの方程式はどのように表せるでしょうか？

　「座標平面上の点の回転移動」を利用します。

原点を中心に回転移動

　関数$y=f(x)$の$x=t$における点の座標は$\bigl(t, f(t)\bigr)$となります。
この点を原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動させた後の点の座標を$(X, Y)$とおくと

$$(X, Y)=\bigl(t\cos\theta-f(t)\sin\theta, t\sin\theta+ f(t)\cos\theta\bigr)$$

が成り立ちます。

すなわち、回転移動後の各点の座標$(X, Y)$は対応する$y=f(x)$のグラフ上の点の座標$\bigl(t, f(t)\bigr)$によって

$$\begin{cases}X=t\cos\theta-f(t)\sin\theta&\cdots(1)\\[0.5em]Y=t\sin\theta+ f(t)\cos\theta&\cdots(2)\end{cases}$$

のように表せるということです。

上記の2式を連立し、$t, f(t)$をそれぞれ$X, Y$をもちいて表す式を求めます。

$(1)×\cosθ+(2)×\sinθ$より

$$\begin{align*}X\cos\theta+ Y\sin\theta&=t\cos^2\theta+ t\sin^2\theta\\[0.5em]&=t(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\[0.5em]&=t&(\because \cos^2x+\sin^2x=1)\\[0.5em]\therefore t&=X\cos\theta+ Y\sin\theta\tag(3)\end{align*}$$

$(1)×\sinθ-(2)×\cosθ$より

$$\begin{align*}X\sin\theta-Y\cos\theta&=-f(t)\sin^2\theta- f(t)\cos^2\theta\\[0.5em]&=-f(t)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\[0.5em]&=f(t)\\[0.5em]\therefore f(t)&=-X\sin\theta+ Y\cos\theta\tag4\end{align*}$$

$(4)$に$(3)$を代入すると

$$f\bigl(X\cos\theta+ Y\sin\theta\bigr)=-X\sin\theta+ Y\cos\theta$$

となります。

これは座標$(X, Y)$に現れる2数の組を解とする方程式なので、関数$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した後のグラフを表す方程式は

$$\large f(x\cos\theta+y\sin\theta)=-x\sin\theta+y\cos\theta$$

となります。

　ちなみに、連立方程式により$(3),(4)$を求めましたが、別の方法で求めることもできます。

ある方程式のグラフの任意の点$(X, Y)$を原点を中心に反時計回りに$-θ$だけ回転移動させると関数$y=f(x)$のグラフ上の$\bigl(t, f(t)\bigr)$となる、ともいえるので

$$\begin{cases}t=X\cos(-\theta)-Y\sin(-\theta)\\[0.5em]f(t)=X\sin(-\theta)+Y\cos(-\theta)\end{cases}$$

と書けます。

$\sin(-x)=-\sin x,$$\cos(-x)=\cos x$より、上記の式はそれぞれ

$$\begin{align*}t=X\cos\theta+ Y\sin\theta\\[0.5em]f(t)=-X\sin\theta+ Y\cos\theta\end{align*}$$

となり、$(3),(4)$を得ます。

点$(p, q)$を中心に回転移動

　関数$y=f(x)$の$x=t$における点$\bigl(t, f(t)\bigr)$を点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動させたときの点の座標を$(X, Y)$とおくと

$$\begin{cases}X=(t-p)\cos\theta-\{f(t)-q\}\sin\theta +p&\cdots(5)\\[0.5em]Y=(t-p)\sin\theta +\{f(t)-q\}\sin\theta +q&\cdots(6)\end{cases}$$

が成り立ちます。

原点を中心に回転移動の場合と同様に$(5),(6)$より$t, f(t)$を$X, Y, p, q$をもちいて表す式を求めます。

$(5),(6)$の$p, q$をそれぞれ移項すると

$$\begin{cases}X-p=(t-p)\cos\theta-\{f(t)-q\}\sin\theta&\cdots(7)\\[0.5em]Y-q=(t-p)\sin\theta+\{f(t)-q\}\cos\theta&\cdots(8)\end{cases}$$

となり、$(1),(2)$の$t, f(t),X, Y$をそれぞれ$t-p, f(t)-q, X-p, Y-q$に置き換えたものなので、これらから$(3),(4)$も同様に置き換えた

$$\begin{align*}t-p=(X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta\\[0.5em]f(t)-q=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta\end{align*}$$

を得ることができることがわかります。

さらに、左辺の$p, q$を移項して

$$\begin{align*}t=(X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta +p&\cdots(9)\\[0.5em]f(t)=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta +q&\cdots(10)\end{align*}$$

となります。

$(10)$に$(9)$を代入すると

$$f((X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta +p)=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta +q$$

これは座標$(X, Y)$に現れる2数の組を解とする方程式なので、関数$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した後のグラフを表す方程式は

$$\large f((x-p)\cos\theta+(y-q)\sin\theta +p)=-(x-p)\sin\theta+(y-q)\cos\theta +q$$

となります。

Desmosグラフ計算機でグラフの回転移動のサンプルを作ってみました。
外部リンク：グラフの回転移動| Desmos

(2025/1)点$(p, q)$を中心に回転移動の式に誤りがありましたので修正しました。申し訳ありません。

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