関数$y=f(x)$のグラフをある点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動させたとき、移動後のグラフの方程式はどのように表せるでしょうか？
「座標平面上の点の回転移動」を利用します。
原点を中心に回転移動
この点を原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動させた後の点の座標を$(X, Y)$とおくと
\[(X, Y)=\bigl(t\cos\theta-f(t)\sin\theta, t\sin\theta+
f(t)\cos\theta\bigr)\]
が成り立ちます。
すなわち、回転移動後の各点の座標$(X,
Y)$は対応する$y=f(x)$のグラフ上の点の座標$\bigl(t, f(t)\bigr)$によって
\begin{cases}X=t\cos\theta-f(t)\sin\theta&\cdots(1)\\[0.5em]Y=t\sin\theta+
f(t)\cos\theta&\cdots(2)\end{cases}
のように表せるということです。
上記の2式を連立し、$t, f(t)$をそれぞれ$X, Y$をもちいて表す式を求めます。
$(1)×\cosθ+(2)×\sinθ$より
\begin{align*}X\cos\theta+ Y\sin\theta&=t\cos^2\theta+
t\sin^2\theta\\[0.5em]&=t(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\[0.5em]&=t&(\because
\cos^2x+\sin^2x=1)\\[0.5em]\therefore t&=X\cos\theta+
Y\sin\theta\tag(3)\end{align*}
$(1)×\sinθ-(2)×\cosθ$より
\begin{align*}X\sin\theta-Y\cos\theta&=-f(t)\sin^2\theta-
f(t)\cos^2\theta\\[0.5em]&=-f(t)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\[0.5em]&=f(t)\\[0.5em]\therefore
f(t)&=-X\sin\theta+ Y\cos\theta\tag4\end{align*}
$(4)$に$(3)$を代入すると
\[f\bigl(X\cos\theta+ Y\sin\theta\bigr)=-X\sin\theta+ Y\cos\theta\]
となります。
これは座標$(X,
Y)$に現れる2数の組を解とする方程式なので、関数$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した後のグラフを表す方程式は
\[\large f(x\cos\theta+y\sin\theta)=-x\sin\theta+y\cos\theta\]
となります。
ちなみに、連立方程式により$(3),(4)$を求めましたが、別の方法で求めることもできます。
ある方程式のグラフの任意の点$(X,
Y)$を原点を中心に反時計回りに$-θ$だけ回転移動させると関数$y=f(x)$のグラフ上の$\bigl(t,
f(t)\bigr)$となる、ともいえるので
\begin{cases}t=X\cos(-\theta)-Y\sin(-\theta)\\[0.5em]f(t)=X\sin(-\theta)+Y\cos(-\theta)\end{cases}
と書けます。
$\sin(-x)=-\sin x,$$\cos(-x)=\cos x$より、上記の式はそれぞれ
\begin{align*}t=X\cos\theta+ Y\sin\theta\\[0.5em]f(t)=-X\sin\theta+
Y\cos\theta\end{align*}
となり、$(3),(4)$を得ます。
点$(p, q)$を中心に回転移動
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\begin{cases}X=(t-p)\cos\theta-\{f(t)-q\}\sin\theta
+p&\cdots(5)\\[0.5em]Y=(t-p)\sin\theta +\{f(t)-q\}\sin\theta
+q&\cdots(6)\end{cases}
が成り立ちます。
原点を中心に回転移動の場合と同様に$(5),(6)$より$t, f(t)$を$X, Y, p,
q$をもちいて表す式を求めます。
$(5),(6)$の$p, q$をそれぞれ移項すると
\begin{cases}X-p=(t-p)\cos\theta-\{f(t)-q\}\sin\theta&\cdots(7)\\[0.5em]Y-q=(t-p)\sin\theta+\{f(t)-q\}\cos\theta&\cdots(8)\end{cases}
となり、$(1),(2)$の$t, f(t),X, Y$をそれぞれ$t-p, f(t)-q, X-p,
Y-q$に置き換えたものなので、これらから$(3),(4)$も同様に置き換えた
\begin{align*}t-p=(X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta\\[0.5em]f(t)-q=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta\end{align*}
を得ることができることがわかります。
さらに、左辺の$p, q$を移項して
\begin{align*}t=(X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta
+p&\cdots(9)\\[0.5em]f(t)=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta
+q&\cdots(10)\end{align*}
となります。
$(10)$に$(9)$を代入すると
\[f((X-p)\cos\theta+(Y-q)\sin\theta +p)=-(X-p)\sin\theta+(Y-q)\cos\theta
+q\]
これは座標$(X,
Y)$に現れる2数の組を解とする方程式なので、関数$y=f(x)$のグラフを点$(p,
q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した後のグラフを表す方程式は
\[\large f((x-p)\cos\theta+(y-q)\sin\theta
+p)=-(x-p)\sin\theta+(y-q)\cos\theta +q\]
となります。
Desmosグラフ計算機でグラフの回転移動のサンプルを作ってみました。
外部リンク：グラフの回転移動| Desmos
外部リンク：グラフの回転移動| Desmos
(2025/1)点$(p,
q)$を中心に回転移動の式に誤りがありましたので修正しました。申し訳ありません。
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