関数のグラフの回転移動

　関数$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large f(x\cos\theta +y\sin\theta)+x\sin\theta -y\cos\theta=0\]

点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

原点を中心に回転移動

　まず、新しい座標を定義します。

点の回転移動

点$(a, b)$を原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した座標は$(a\cosθ-b\sinθ, a\sinθ+b\cosθ)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{cases}X=x\cos(-\theta)-y\sin(-\theta)\\[0.5em]Y=x\sin(-\theta)+y\cos(-\theta)\end{cases}

すなわち

\begin{equation}\begin{cases}X=x\cos\theta +y\sin\theta\\[0.5em]Y=-x\sin\theta +y\cos\theta\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

関連：座標平面上の点の回転移動

この定義により、同じ実数の組によってあらわされる座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(1)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(1)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(1)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large -x\sin\theta +y\cos\theta=f(x\cos\theta +y\sin\theta)\]

あるいは、陰関数表示（右辺が$0$になるよう変形）して

\[\large f(x\cos\theta +y\sin\theta)+x\sin\theta -y\cos\theta=0\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動することは、方程式上では$x$を$x\cosθ +y\sinθ$に、$y$を$-x\sinθ +y\cosθ$に置き換える操作となります。

ここで、$x, y$を

\begin{cases}x=r\cos\alpha\\[0.5em]y=r\sin\alpha\end{cases}

という媒介変数表示によって直交座標成分$x, y$を極座標成分$r, α$で表すと、$(1)$は

\begin{align*}X&=r\cos\alpha\cos\theta +r\sin\alpha\sin\theta\\[0.5em]&=r(\cos\alpha\cos\theta +\sin\alpha\sin\theta)\\[0.5em]&=r\cos(\alpha-\theta)&(\because \cosの加法定理)\\[1em]Y&=-r\cos\alpha\sin\theta +r\sin\alpha\cos\theta\\[0.5em]&=r(-\cos\alpha\sin\theta +\sin\alpha\cos\theta)\\[0.5em]&=r(\sin\alpha\cos\theta -\cos\alpha\sin\theta)\\[0.5em]&=r\sin(\alpha-\theta)&(\because \sinの加法定理)\end{align*}

となります。

関連：極座標から直交座標への変換　直交座標から極座標への変換

したがって、$y=f(x)$は媒介変数表示によって

\[r\sin\alpha=f(r\cos\alpha)\]

$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[r\sin(\alpha-\theta)=f\bigl(r\cos(\alpha-\theta)\bigr)\]

となります。
直交座標成分$x, y$においては複雑な置き換え操作に見えても、極座標成分$r, α$においては$α$を$α-θ$に置き換える操作と非常にシンプルであることがわかります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の回転移動先が$f(x\cos\theta +y\sin\theta)$$+x\sin\theta -y\cos\theta=0$であることを確かめてみます。
関数$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した先は点$\bigl(k\cos\theta -f(k)\sin\theta, k\sin\theta +f(k)\cos\theta\bigr)$です。

この点を方程式$f(x\cos\theta +y\sin\theta)$$+x\sin\theta -y\cos\theta=0$が通るかを調べてみます。
$x=k\cos\theta -f(k)\sin\theta,$$y=k\sin\theta +f(k)\cos\theta$を代入すると

\begin{align*}&f\Bigl(\bigl\{k\cos\theta -f(k)\sin\theta\bigr\}\cos\theta +\bigl\{k\sin\theta +f(k)\cos\theta\bigr\}\sin\theta\Bigr)\\ &\qquad +\bigl(k\cos\theta -f(k)\sin\theta\bigr)\sin\theta -\bigl(k\sin\theta +f(k)\cos\theta\bigr)\cos\theta=0\\[0.5em]&f\bigl(k\cos^2\theta -f(k)\sin\theta\cos\theta +k\sin^2\theta +f(k)\sin\theta\cos\theta\bigr)\\ &\qquad +k\sin\theta\cos\theta -f(k)\sin^2\theta -k\sin\theta\cos\theta -f(k)\cos^2\theta=0\\[0.5em]&f\bigl(k(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\bigr)-f(k)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=0\\[0.5em]&f(k)-f(k)=0\\ &\qquad(\because \sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\end{align*}

となり方程式を満たすので、方程式$f(x\cos\theta +y\sin\theta)$$+x\sin\theta -y\cos\theta=0$は$y=f(x)$の$x=k$における点の回転移動先$\bigl(k\cos\theta -f(k)\sin\theta, k\sin\theta +f(k)\cos\theta\bigr)$を通ります。

したがって、$y=f(x)$のグラフを原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したものは確かに$f(x\cos\theta +y\sin\theta)$$+x\sin\theta -y\cos\theta=0$と表せることがわかります。

ちなみに$θ=180°$のとき、回転移動した後のグラフの方程式は

\begin{align*}-x\sin180° +y\cos180°&=f(x\cos180° +y\sin180°)\\[0.5em]-x\cdot0 +y\cdot(-1)&=f\bigl(x\cdot(-1)+y\cdot0\bigr)\\[0.5em]-y&=f(-x)\\[0.5em]y&=-f(-x)\end{align*}

となります。
これは、原点に関して対称移動した後のグラフの方程式に一致します。

関連：関数のグラフの対称移動

点$(p, q)$を中心に回転移動

　点の回転移動

点$(a, b)$を点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した座標は$\bigl((a-p)\cos\theta -(b-q)\sin\theta +p, $$(a-p)\sin\theta +(b-q)\cos\theta +q\bigr)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{cases}X=(x-p)\cos(-\theta) -(y-q)\sin(-\theta) +p\\[0.5em]Y=(x-p)\sin(-\theta) +(y-q)\cos(-\theta) +q\end{cases}

すなわち

\begin{equation}\begin{cases}X=(x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\\[0.5em]Y=-(x-p)\sin\theta +(y-q)\cos\theta +q\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(2)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(2)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(2)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[\large -(x-p)\sin\theta +(y-q)\cos\theta +q=f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)\]

あるいは、陰関数表示して

\[\large f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動することは、方程式上では$x$を$(x-p)\cosθ +(y-q)\sinθ +p$に、$y$を$-(x-p)\sinθ +(y-q)\cosθ +q$に置き換える操作となります。

ここで、$x, y$を

\begin{cases}x=r\cos\alpha\\[0.5em]y=r\sin\alpha\end{cases}

という媒介変数表示によって直交座標成分$x, y$を極座標成分$r, α$で表すと、$(1)$は

\begin{align*}X&=(r\cos\alpha -p)\cos\theta +(r\sin\alpha -q)\sin\theta +p\\[0.5em]&=r\cos\alpha\cos\theta -p\cos\theta +r\sin\alpha\sin\theta -q\sin\theta +p\\[0.5em]&=r(\cos\alpha\cos\theta +\sin\alpha\sin\theta) -p\cos\theta -q\sin\theta +p\\[0.5em]&=r\cos(\alpha-\theta) -p\cos\theta -q\sin\theta +p&(\because \cosの加法定理)\\[1em]Y&=-(r\cos\alpha -p)\sin\theta +(r\sin\alpha -q)\cos\theta +q\\[0.5em]&=-r\cos\alpha\sin\theta +p\sin\theta +r\sin\alpha\cos\theta -q\cos\theta +q\\[0.5em]&=r(\sin\alpha\cos\theta -\cos\alpha\sin\theta) +p\sin\theta -q\cos\theta +q\\[0.5em]&=r\sin(\alpha-\theta) +p\sin\theta -q\cos\theta +q&(\because \sinの加法定理)\end{align*}

となります。

したがって、$y=f(x)$は媒介変数表示によって

\[r\sin\alpha=f(r\cos\alpha)\]

$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したグラフの方程式は

\[r\sin(\alpha-\theta) +p\sin\theta -q\cos\theta +q=f\bigl(r\cos(\alpha-\theta) -p\cos\theta -q\sin\theta +p\bigr)\]

となり、極座標成分で表しても変換は複雑なままであることがわかります。
これは、点$(p, q)$を中心に回転移動することが、原点を中心に回転移動という極座標成分の置き換えと平行移動という直交座標成分の置き換えの合成であると考えることができるためです。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の回転移動先が$f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)$$+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0$であることを確かめてみます。
関数$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動した先は点$\Bigl((k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q)\sin\theta +p, $$(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta +q\Bigr)$です。

この点を方程式$f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)$$+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0$が通るかを調べてみます。
$x=(k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q)\sin\theta +p,$$y=(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta +q$を代入すると

\begin{align*}&f\Bigl(\bigl\{(k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q\bigr)\sin\theta +p -p\bigr\}\cos\theta +\bigl\{(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta +q-q\bigr\}\sin\theta +p\bigr)\\ &\qquad +\bigl\{(k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q\bigr)\sin\theta +p -p\bigr\}\sin\theta -\bigl\{(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta +q -q\bigr\}\cos\theta -q=0\\[0.5em]&f\Bigl(\bigl\{(k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q\bigr)\sin\theta\bigr\}\cos\theta +\bigl\{(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta\bigr\}\sin\theta +p\bigr)\\ &\qquad +\bigl\{(k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q\bigr)\sin\theta\bigr\}\sin\theta -\bigl\{(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta\bigr\}\cos\theta -q=0\\[0.5em]&f\bigl((k-p)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+p\bigr)\\ &\qquad-\bigl(f(k)-q\bigr)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-q=0\\[0.5em]&f\bigl((k-p)+p\bigr)-\bigl(f(k)-q\bigr)-q=0\\ &\qquad(\because \sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\\[0.5em]&f(k)-f(k)=0\end{align*}

となり方程式を満たすので、方程式$f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)$$+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0$は$y=f(x)$の$x=k$における点の回転移動先$\Bigl((k-p)\cos\theta -\bigl(f(k)-q)\sin\theta +p,$$(k-p)\sin\theta +\bigl(f(k)-q\bigr)\cos\theta +q\Bigr)$を通ります。

したがって、$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したものは確かに$f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)$$+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0$と表せることがわかります。

ちなみに$θ=180°$のとき、回転移動した後のグラフの方程式は

\begin{align*}-(x-p)\sin180° +(y-q)\cos180° +q&=f\bigl((x-p)\cos180° +(y-q)\sin180° +p\bigr)\\[0.5em]-(x-p)\cdot0 +(y-q)\cdot(-1) +q&=f\bigl((x-p)\cdot(-1) +(y-q)\cdot0 +p\bigr)\\[0.5em]2q-y&=f(2p-x)\\[0.5em]y&=2q-f(2p-x)\end{align*}

となります。
これは、点$(p, q)$に関して対称移動した後のグラフの方程式に一致します。

　方程式$f(x\cos\theta +y\sin\theta)$$+x\sin\theta -y\cos\theta=0$と$f\bigl((x-p)\cos\theta +(y-q)\sin\theta +p\bigr)$$+(x-p)\sin\theta -(y-q)\cos\theta -q=0$は必ずしも$x$の関数になるとは限りません。
回転移動によって1つの$x$の値に対応する$y$の値がただ1つでなくなる場合が起こり得るからです。

関連：関数とは？

例えば、反比例$y=\dfrac{1}{x}$は$0$でないすべての実数$x$で定義された$x$の関数ですが、これを原点を中心に反時計回りに$45°$だけ回転移動すると

\begin{align*}-x\sin45°+y\cos45°&=\frac{1}{x\cos45°+y\sin45°}\\[0.5em]-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}&=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}}\\[0.5em]\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)&=1\\[0.5em]-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}&=1\\[0.5em]\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}&=-1\end{align*}

となります。
これは焦点がy軸上にある双曲線であり、どの$x$に対しても対応する$y$が2つ存在するため$x$の関数ではありません。

　関数$y=f(x)$のグラフに限らず平面図形や空間図形を表す方程式・不等式上でも回転移動が同様の操作で表されることを同様に考えることで導けます。

Desmosグラフ計算機でグラフの回転移動のサンプルを作ってみました。
外部リンク：グラフの回転移動| Desmos

(2026/2)内容を変更しました。

関連：座標平面上の点の回転移動

関連：関数のグラフの平行移動

関連：関数のグラフの対称移動

関連：関数のグラフを伸び縮みさせる