反比例のグラフは双曲線か？

　反比例$y=\dfrac{a}{x}$（$a:$定数、$a\neq0$）のグラフは双曲線なのでしょうか？
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフを適当に回転移動させると双曲線の方程式になることを確かめてみます。

　双曲線とは、2つの焦点からの距離の差の絶対値が一定となる点の集合のことです。

焦点がx軸上にある双曲線は

\[\frac{x^2}{p^2}-\frac{y^2}{q^2}=1\quad(p,q:定数;p>0,q>0)\]

という方程式で表されます。

また、上記の式で表される双曲線はx軸およびy軸に関して対称で、x軸は双曲線と交わる対称軸、y軸は双曲線と交わらない対称軸となります。

対して、反比例$y=\dfrac{a}{x}$（ただし、$a>0$）のグラフは直線$y=x$と$y=-x$に関して対称で、直線$y=x$は$y=\dfrac{a}{x}$のグラフと交わる対称軸、直線$y=-x$は$y=\dfrac{a}{x}$のグラフと交わらない対称軸となります。

そこで、双曲線と交わる対称軸x軸と$y=\dfrac{a}{x}$のグラフと交わる対称軸$y=x$を対応させ、両者が重なるように$y=\dfrac{a}{x}$のグラフのほうを原点を中心に回転移動させます。
移動後のグラフの方程式が双曲線の方程式となれば$y=\dfrac{a}{x}$のグラフが双曲線であることがわかります。

　直線$y=x$はx軸とは反時計回りに$45°$の角をなす直線なので、$y=\dfrac{a}{x}$のグラフを原点を中心に反時計回りに$-45°$だけ回転移動させます。
回転移動後のグラフの方程式は$f(x)=\dfrac{a}{x}$より

\begin{align*}f\bigl(x\cos(-45°)+y\sin(-45°)\bigr)&=-x\sin(-45°)+y\cos(-45°)\\[0.5em]\frac{a}{x\cos(-45°)+y\sin(-45°)}&=-x\sin(-45°)+y\cos(-45°)\\[0.5em]\frac{a}{\cfrac{x}{\sqrt{2}}-\cfrac{y}{\sqrt{2}}}&=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\\[0.5em]a&=\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)\\[0.5em]&=\frac{x^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}-\frac{y^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}\\[0.5em]\frac{x^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}-\frac{y^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}&=a\\[0.5em]\frac{1}{a}\left\{\frac{x^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}-\frac{y^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}\right\}&=1\\[0.5em]\frac{1}{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2}\left\{\frac{x^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}-\frac{y^2}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2}\right\}&=1\\[0.5em]\frac{x^2}{\bigl(\sqrt{2a}\bigr)^2}-\frac{y^2}{\bigl(\sqrt{2a}\bigr)^2}&=1\end{align*}

となります。

関連：関数のグラフの回転移動

これは双曲線の方程式なので、回転移動前の反比例$y=\dfrac{a}{x}$（ただし、$a>0$）のグラフは双曲線であることがわかります。
$a<0$のときの$y=\dfrac{a}{x}$のグラフは、$a>0$のときのグラフをx軸またはy軸に関して対称移動したものなので、これも双曲線となります。