ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$において
\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}
が成り立つ、という定理のことです。
これが成り立つことを確かめてみます。
$(p-1)!$は$p-1$以下の自然数をすべて掛け合わせる階乗を表し、
\[(p-1)!=1\times2\times\cdots(p-2)(p-1)\]
となります。
$p=2$のとき
$(2-1)!=1!=1$であり、$1\equiv-1\pmod2$なので、$(1)$を満たします。
$p>2$のとき
\[(p-1)!\equiv1\times2\times\cdots(p-2)(p-1)\pmod p\]
と書けるので、右辺が$-1$と法$p$に関して合同であることを確かめます。
$p-1$に着目すると
ただし、$p=3$のとき$p-1=2$なので上式の$\{\ \}$にあたる部分はなく
\[p-1\equiv-1\pmod p\]
なので、
\[(p-1)!\equiv1\times\bigl\{2\times3\times\cdots(p-3)(p-2)\bigr\}(-1)\pmod
p\]
となります。ただし、$p=3$のとき$p-1=2$なので上式の$\{\ \}$にあたる部分はなく
\begin{align*}(3-1)!&\equiv1\times(-1)\pmod3\\[0.5em]&\equiv-1\end{align*}
となり、$p=3$のとき$(1)$が成り立つことはこの時点でわかります。
ここで、「ある素数未満の自然数の倍数をある素数で割ったときの余りの性質」より$2,3,\cdots,p-3,p-2$は適切に2つを選んで掛け合わせると、すべての積は法$p$に関して$1$と合同になるので、
\[\overbrace{2\times3\times\cdots(p-3)(p-2)}^{p-3\text{個}}\equiv\overbrace{1\times1\times\cdots\times1\times1}^{\frac{p-3}{2}\text{個}}\pmod
p\]
となります。
したがって、
\begin{align*}(p-1)!&\equiv1\times\bigl\{\overbrace{1\times1\times\cdots\times1\times1}^{\frac{p-3}{2}\text{個}}\bigr\}\times(-1)\pmod
p\\[0.5em]&\equiv-1\end{align*}
となり、$(1)$が成り立つことがわかります。
例えば$p=17$のとき、法$17$に関して$1$と合同になる$2$以上$15$以下の自然数による因数の組み合わせは
\begin{array}{l}(2,9),&(3,6),&(4,13),&(5,7),\\[0.5em](8,15),&(10,12),&(11,14)\end{array}
なので、
\begin{align*}(17-1)!&\equiv1\times2\times3\times4\\
&\quad\times5\times6\times7\times8\\
&\quad\times9\times10\times11\times12\\
&\quad\times13\times14\times15\times16\\[0.5em]&\equiv1\times\textcolor{red}{(2\times9)\times(3\times6)}\\
&\quad\textcolor{red}{\times(4\times13)\times(5\times7)}\\
&\quad\textcolor{red}{\times(8\times15)\times(10\times12)}\\
&\quad\textcolor{red}{\times(11\times14)}\times\textcolor{blue}{16}\\[0.5em]&\equiv1\times\textcolor{red}{1\times1\times1}\\
&\quad\textcolor{red}{\times1\times1\times1\times1}\times\textcolor{blue}{(-1)}\\[0.5em]&\equiv-1\end{align*}
となり、$(1)$が成り立つことがわかります。
以上より、いかなる素数$p$においても$(1)$が成り立つことがわかります。
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