合同式とはどういったものでしょうか?
どういう性質があるのでしょうか?
どういう性質があるのでしょうか?
合同式とは、整数の余りの関係に着目した式です。
2つの整数をそれぞれ整数で割ると
または、別の形で
となるとき、どちらも余りがで一致するので
読み方は「()合同()モッド()」や「()を法として()合同()」です。
または、別の形で
と表すことができます。
読み方は「()合同()モッド()」や「()を法として()合同()」です。
整数をそれぞれ整数で割って
であることをもちいると、合同式の性質は以下のようなものとなります。
整数と余り
が成り立つとき、合同式で
が成り立ちます。
これはをで割ると
のように商がでがそのまま余りとなるためです。
負の余り
が成り立つとき、合同式で
が成り立ちます。
これはを変形すると
となるためです。
さらに拡張すると整数をもちいて
が成り立ちます。
これは同様にを変形して
となるためです。
このことから2つの整数の間にが成り立つときにはを満たす整数が存在することがわかります。
和と差
2つの整数の間に
が成り立つとき整数をもちいて
が成り立ちます。
これはとの辺々を足して(引いて)
との辺々を足して(引いて)
となり、余りがどちらもとなるためです。
積
2つの整数の間に
が成り立つとき、整数をもちいて
が成り立ちます。
これはとの辺々を掛けて
との辺々を掛けて
となり、余りはどちらもから出てくるためです。
累乗
2つの整数の間に
が成り立つとき、整数をもちいて
が成り立ちます。
これはの両辺を乗して、二項定理より
同様にの両辺を乗して、
となり、余りはどちらもから出てくるためです。
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