三角形の1辺の長さと両端の角から外接円の半径を求める ~ 数学について考えてみる

2022年11月20日

三角形の1辺の長さと両端の角から外接円の半径を求める

PLUMBAGO

「円

O

$\text{O}$ に内接する

△ ABC

$△\text{ABC}$ がある。

BC = 4, ∠ B = 27 °, ∠ C = 108 °

$\text{BC}=4,∠\text{B}=27°,∠\text{C}=108°$ のとき、円

O

$\text{O}$ の半径を求めよ。」

　まずは

∠ A

$∠\text{A}$ を求めます。
三角形の内角の和は

180 °

$180°$ なので、

\begin{aligned} ∠ A + 27 ° + 108 ° & = 180 ° \\ ∠ A & = 180 ° - (27 ° + 108 °) \\ = 180 ° - 135 ° \\ = 45 ° \end{aligned}

$\begin{align*}∠\text{A}+27°+108°&=180°\\[0.5em]∠\text{A}&=180°-(27°+108°)\\[0.5em]&=180°-135°\\[0.5em]&=45°\end{align*}$

となります。

正弦定理より

\frac{BC}{\sin ∠ A} = 2 R (R : 外接円の半径)

$\frac{\text{BC}}{\sin∠\text{A}}=2R\quad(R:\text{外接円の半径})$

なので、

\begin{aligned} \frac{4}{\sin 45 °} & = 2 R \\ \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} & = 2 R \\ \frac{8}{\sqrt{2}} & = 2 R \\ R & = \frac{4}{\sqrt{2}} \\ = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\ = \frac{4 \sqrt{2}}{2} \\ = 2 \sqrt{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{4}{\sin45°}&=2R\\[0.5em]\frac{4}{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}&=2R\\[0.5em]\frac{8}{\sqrt{2}}&=2R\\[0.5em]R&=\frac{4}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{4\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{2}}{2}\\[0.5em]&=2\sqrt{2}\end{align*}$

となります。