三角形の1辺の長さと両端の角から外接円の半径を求める

「円$O$に内接する$△ABC$がある。
$BC=4,∠B=27°,∠C=108°$のとき、円$O$の半径を求めよ。」

　まずは$∠A$を求めます。
三角形の内角の和は$180°$なので、
\begin{align*}∠A+27°+108°&=180°\\ \\ ∠A&=180°-(27°+108°)\\ \\ &=180°-135°\\ \\ &=45°\end{align*}
となります。

正弦定理より
\[\frac{BC}{\sin∠A}=2R\quad(R:外接円の半径)\]
なので、
\begin{align*}\frac{4}{\sin45°}&=2R\\ \\ \cfrac{4}{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}&=2R\\ \\ \frac{8}{\sqrt{2}}&=2R\\ \\ R&=\frac{4}{\sqrt{2}}\\ \\ &=\frac{4\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ \\ &=\frac{4\sqrt{2}}{2}\\ \\ &=2\sqrt{2}\end{align*}
となります。

　正弦定理というと上図より
\[\frac{a}{\sin∠A}=\frac{b}{\sin∠B}=\frac{c}{\sin∠C}\]
という1辺とその対角による関係に目が行きがちですが、定理の全体は
\[\frac{a}{\sin∠A}=\frac{b}{\sin∠B}=\frac{c}{\sin∠C}=2R\]
で、外接円の半径（または直径）とも関係する定理となっています。

関連：円に内接する三角形の1辺の長さは？