\begin{align*}\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=|\vec{\text{A}}||\vec{\text{B}}|\cosθ\\[1em]\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
の2式あります。
この2式がどちらも内積を表していることを確かめてみます。
内積を定義する式
\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=|\vec{\text{A}}||\vec{\text{B}}|\cosθ
から\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}=a_1b_1+a_2b_2が導けることを確かめます。
\vec{\text{A}},\vec{\text{B}}それぞれのベクトルの大きさは
\begin{align*}|\vec{\text{A}}|&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\\[0.5em]|\vec{\text{B}}|&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\end{align*}
となります。
次にベクトルの成分を使ってどうやって\cosθを表すかを考えます。
円の中心からx軸の正の方向にのびる直線と\vec{\text{X}}とのなす角をθとしたとき、三角関数の値を求めるときと同様にすれば
\begin{cases}x=|\vec{\text{X}}|\cosθ\\[0.5em]y=|\vec{\text{X}}|\sinθ\end{cases}
となります。
このことから
\begin{cases}\cosθ=\frac{x}{|\vec{\text{X}}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[0.5em]\sinθ=\frac{y}{|\vec{\text{X}}|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}
となります。
\begin{align*}\cos\alpha&=\frac{a_1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}},\\[0.5em]\sin\alpha&=\frac{a_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\\[1em]\cos\beta&=\frac{b_1}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}},\\[0.5em]\sin\beta&=\frac{b_2}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\end{align*}
となります。
θ=α-βであるから加法定理より
\begin{align*}\cosθ&=\cos(\alpha-\beta)\\[0.5em]&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[0.5em]&=\frac{a_1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\cdot\frac{b_1}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}+\frac{a_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\cdot\frac{b_2}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\\[0.5em]&=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\end{align*}
よって
\begin{align*}\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{B}}&=|\vec{\text{A}}||\vec{\text{B}}|\cosθ\\[0.5em]
&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\cdot\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\\[0.5em]&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
となり、2式はどちらもベクトルの内積を表すことがわかります。
別の方法として以下のようなものがあります。
座標平面上のベクトル\vec{\text{X}}=(x,y)をx成分のみのベクトル\vec{\text{X}_x}=(x,0)とy成分のみのベクトル\vec{\text{X}_y}=(0,y)の2つに分解すると
\vec{\text{X}}=\vec{\text{X}_x}+\vec{\text{X}_y}
となることから\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)の内積は
\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y})
と書けます。
ここで、内積の分配法則
(\vec{\text{A}}+\vec{\text{B}})\cdot\vec{\text{C}}=\vec{\text{A}}\cdot\vec{\text{C}}+\vec{\text{B}}\cdot\vec{\text{C}}
を利用すると
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}
と展開できます。
x軸とy軸は直交しているのでx成分のみのベクトルとy成分のみのベクトルのなす角は90°、x成分のみのベクトル同士、y成分のみのベクトル同士のなす角は0°なので、
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°\\[0.5em]&=a_1b_1+0+0+a_2b_2\\[0.5em]
&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
となり、ベクトルの内積の式を導くことができます。
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