自然数の平方数を小さい順に並べた数列の初項から第$n$項までの総和（第$n$部分和）は
\[\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和は
\[\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]
となります。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
これらを導くために、「$1$から$n$までの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和）」の方法2と同様の方法を利用します。
自然数の平方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和
平方数とは整数を2乗した数のことであり、自然数の平方数を小さい順に並べた数列とは
\[1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\cdots\]
すなわち
\[1,4,9,16,25,\cdots\]
という数列のことです。
この数列の一般項は$n^2$なので、第$n$部分和は
\[1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\sum_{k=1}^n{k^2}\]
と書けます。
この数列の第$n$部分和の他の表し方については、恒等式
この恒等式の$k$に$1$から$n$までの自然数を1つずつ代入し、$n$個の式をつくります。
\[(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\]
を利用します。この恒等式の$k$に$1$から$n$までの自然数を1つずつ代入し、$n$個の式をつくります。
できた式は以下の通りです。
\begin{array}{c}2^3-1^3&=&3\cdot1^2+3\cdot1+1\\[0.5em]3^3-2^3&=&3\cdot2^2+3\cdot2+1\\[0.5em]4^3-3^3&=&3\cdot3^2+3\cdot3+1\\
\vdots&&\vdots\\
(n-1)^3-(n-2)^3&=&3(n-2)^2+3(n-2)+1\\[0.5em]n^3-(n-1)^3&=&3(n-1)^2+3(n-1)+1\\[0.5em](n+1)^3-n^3&=&3n^2+3n+1\end{array}
これらの式の辺々を加えると
\begin{array}{rllclll}&2^3&-1^3&=&3\cdot1^2&+3\cdot1&+1\\[0.5em]&3^3&-2^3&=&3\cdot2^2&+3\cdot2&+1\\[0.5em]&4^3&-3^3&=&3\cdot3^2&+3\cdot3&+1\\
&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\
&(n-1)^3&-(n-2)^3&=&3(n-2)^2&+3(n-2)&+1\\[0.5em]&n^3&-(n-1)^3&=&3(n-1)^2&+3(n-1)&+1\\[0.5em]+)&(n+1)^3&-n^3&=&3n^2&+3n&+1\\[0.5em]\hline&(n+1)^3&-1^3&=&3\left\{\begin{aligned}&1^2+2^2+\cdots\\
&\quad+(n-1)^2+n^2\end{aligned}\right\}&+3\left\{\begin{aligned}&1+2+\cdots\\
&\quad+(n-1)+n\end{aligned}\right\}&+\Bigl(\underbrace{\begin{aligned}&1+1+\cdots\\
&\quad+1+1\end{aligned}}_{n\text{個}}\Bigr)\end{array}
となり、
\[(n+1)^3-1=3\sum_{k=1}^n{k^2}+3\sum_{k=1}^n{k}+n\]
が得られます。
「$1$から$n$までの自然数の和（自然数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和）」にて
\[\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2}\]
であることがわかっているので、これを代入し、$\sum_{k=1}^n{k^2}=S$とおいて$S$について解くと
\begin{align*}(n+1)^3-1&=3S+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\\[0.5em]n^3+3n^2+3n&=3S+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\\[0.5em]2n^3+6n^2+6n&=6S+3n(n+1)+2n\\[0.5em]&=6S+3n^2+5n\\[0.5em]6S&=(2n^3+6n^2+6n)-(3n^2+5n)\\[0.5em]&=2n^3+3n^2+n\\[0.5em]&=n(2n^2+3n+1)\\[0.5em]&=n(n+1)(2n+1)\\[0.5em]\therefore
S&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}
となり、自然数の平方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和が
\[\large\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
と書けることがわかります。
自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和
立方数とは整数を3乗した数のことであり、自然数の立方数を小さい順に並べた数列とは
\[1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,\cdots\]
すなわち
\[1,8,27,48,125,\cdots\]
という数列のことです。
この数列の一般項は$n^3$なので、第$n$部分和は
\[1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3+n^3=\sum_{k=1}^n{k^3}\]
と書けます。
この数列の第$n$部分和の他の表し方については、恒等式
この恒等式の$k$に$1$から$n$までの自然数を1つずつ代入し、$n$個の式をつくります。
\[(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\]
を利用します。
この恒等式の$k$に$1$から$n$までの自然数を1つずつ代入し、$n$個の式をつくります。
できた式は以下の通りです。
\begin{array}{c}2^4-1^4&=&4\cdot1^3+6\cdot1^2+4\cdot1+1\\[0.5em]3^4-2^4&=&4\cdot2^3+6\cdot2^2+4\cdot2+1\\[0.5em]4^4-3^4&=&4\cdot3^3+6\cdot3^2+4\cdot3+1\\
\vdots&&\vdots\\
(n-1)^4-(n-2)^4&=&4(n-2)^3+6(n-2)^2+4(n-2)+1\\[0.5em]n^4-(n-1)^4&=&4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1\\[0.5em](n+1)^4-n^4&=&4n^3+6n^2+4n+1\end{array}
これらの式の辺々を加えると
\begin{array}{rllcllll}&2^4&-1^4&=&4\cdot1^3&+6\cdot1^2&+4\cdot1&+1\\[0.5em]&3^4&-2^4&=&4\cdot2^3&+6\cdot2^2&+4\cdot2&+1\\[0.5em]&4^4&-3^4&=&4\cdot3^3&+6\cdot3^2&+4\cdot3&+1\\
&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
&(n-1)^4&-(n-2)^4&=&4(n-2)^3&+6(n-2)^2&+4(n-2)&+1\\[0.5em]&n^4&-(n-1)^4&=&4(n-1)^3&+6(n-1)^2&+4(n-1)&+1\\[0.5em]+)&(n+1)^4&-n^4&=&4n^3&+6n^2&+4n&+1\\[0.5em]\hline&(n+1)^4&-1^4&=&4\left\{\begin{aligned}&1^3+2^3+\cdots\\
&\quad+(n-1)^3+n^3\end{aligned}\right\}&+6\left\{\begin{aligned}&1^2+2^2+\cdots\\
&\quad+(n-1)^2+n^2\end{aligned}\right\}&+4\left\{\begin{aligned}&1+2+\cdots\\
&\quad+(n-1)+n\end{aligned}\right\}&+\Bigl(\underbrace{\begin{aligned}&1+1+\cdots\\
&\quad+1+1\end{aligned}}_{n\text{個}}\Bigr)\end{array}
となり、
\[(n+1)^4-1=4\sum_{k=1}^n{k^3}+6\sum_{k=1}^n{k^2}+4\sum_{k=1}^n{k}+n\]
が得られます。
上記より
\[\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2},\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
であることがわかっているので、これらを代入し、$\sum_{k=1}^n{k^3}=S$とおいて$S$について解くと
\begin{align*}(n+1)^4-1&=4S+6\left\{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right\}\\
&\quad+4\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}+n\\[0.5em]&=4S+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n\\[0.5em]&=4S+n\bigl\{(n+1)(2n+1)+2(n+1)+1\bigr\}\\[0.5em]&=4S+n(2n^2+5n+4)\\[0.5em]n^4+4n^3+6n^2+4n&=4S+n(2n^2+5n+4)\\[0.5em]n(n^3+4n^2+6n+4)&=4S+n(2n^2+5n+4)\\[0.5em]4S&=n(n^3+4n^2+6n+4)\\
&\quad-n(2n^2+5n+4)\\[0.5em]&=n\left\{\begin{aligned}&(n^3+4n^2+6n+4)\\
&\quad-(2n^2+5n+4)\end{aligned}\right\}\\[0.5em]&=n(n^3+2n^2+n)\\[0.5em]&=n^2(n^2+2n+1)\\[0.5em]&=n^2(n+1)^2\\[0.5em]S&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\[0.5em]\therefore
S&=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\end{align*}
となり、自然数の立方数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和が
\[\large\sum_{k=1}^n{k^3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]
と書けることがわかります。
ここで、$\dfrac{n(n+1)}{2}$が自然数を小さい順に並べた数列の第$n$部分和であることから
\[\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{k=1}^n{k}\]
を代入すると
\[\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2\]
もとの数列の和に直して書けば
\begin{align*}&1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3+n^3\\[0.5em]&\quad=\{1+2+\cdots+(n-1)+n\}^2\end{align*}
となることがわかります。
(2025/5)加筆しました。
Share:
