無限数列のすべての項の総和は、第$n$部分和をもとにして求めます。
無限数列のすべての項の総和のことを級数といい、数列$\{a_n\}$の級数は$\sum$をもちいて$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}$というように書き表します。（無限個の項の和であることを強調するために無限級数という場合もあります。）
\[S=\sum_{n=1}^\infty{a_n}=\overbrace{\underbrace{a_1+a_2+\cdots
+a_{n-1}+a_n}_{\large\textcolor{blue}{\text{部分和（第$n$部分和）}}}+a_{n+1}+\cdots}^{\large\textcolor{red}{\text{級数}}}\]
数列の有限個の項の総和を部分和といいますが、これは有限個の項の総和が無限個の項の総和である級数の一部分であるためです。
ある無限数列$\{a_n\}$の無限個の項をすべて足し合わせて和を求めることはできませんが、数列$\{a_n\}$の第$n$部分和の$n$を大きくしていく、すなわち初項から足し合わせる項の個数を増やしていくことで無限個の項の総和に近づけていくことができます。
このことから、無限数列$\{a_n\}$の級数$S$は、第$n$部分和$S_n$の$n$を限りなく大きくしたときの極限、すなわち
ただし、級数は数列によって発散するものやある値に収束するものがあり、総和としての値をもつのは収束する場合に限ります。
\[S=\lim_{n\to\infty}S_n\]
$\sum$をもちいて表現すれば
\[\large\sum_{n=1}^\infty{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{a_k}\]
によって求められます。ただし、級数は数列によって発散するものやある値に収束するものがあり、総和としての値をもつのは収束する場合に限ります。
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