数列の途中の項からの部分和

「次の部分和を求めよ。

(1)初項が$3$、公差が$4$の等差数列の第$5$項から第$10$項までの和

(2)初項が$-3$、公比が$2$の等比数列の第$3$項から第$7$項までの和」

　数列の初項からではなく途中の項からの部分和は、どんな数列においても初項からの部分和（第$n$部分和）がわかれば求めることができます。

数列$\{a_n\}$の第$m$項から第$n$項までの和を求める場合を考えます。

この部分和は

$$\sum_{k=m}^n{a_k}=a_m +a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n$$

と書けます。

関連：$\sum$をもちいた数列の和の表し方（部分和）

ここで、数列$\{a_n\}$の第$n$部分和について考えると

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^n{a_k}&=\textcolor{blue}{a_1+a_2+\cdots +a_{m-1}}\\ &\quad +\textcolor{red}{a_m +a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n}\\[0.5em]&=\textcolor{blue}{\sum_{k=1}^{m-1}{a_k}}+\textcolor{red}{\sum_{k=m}^n{a_k}}\end{align*}$$

となっていることから、第$m$項から第$n$項までの和は

$$\large\sum_{k=m}^n{a_k}=\sum_{k=1}^n{a_k}-\sum_{k=1}^{m-1}{a_k}$$

と表せることがわかります。

これを利用して問題を解きます。

(1)初項$3$、公差$-4$の等差数列の第$5～10$項の和

　この等差数列を$\{a_n\}$とおくと、上記より第$5$項から第$10$項までの和は

$$\sum_{k=5}^{10}{a_k}=\sum_{k=1}^{10}{a_k}-\sum_{k=1}^{4}{a_k}\tag{a}$$

と書けます。

また、この等差数列$\{a_n\}$の一般項は、初項が$3$、公差が$-4$なので

$$a_n=3+(n-1)\cdot4$$

関連：等差数列とは？

第$n$部分和は

$$\sum_{k=1}^n{a_k}=\frac{n}{2}\cdot\bigl\{2\cdot3+(n-1)\cdot4\bigr\}\tag{b}$$

と書けます。

関連：等差数列の和

$\text{(b)}$に$n=4$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}{a_k}&=\frac{4}{2}\cdot(2\cdot3+3\cdot4)\\[0.5em]&=2\cdot(6+12)\\[0.5em]&=36\end{align*}$$

$\text{(b)}$に$n=10$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^10{a_k}&=\frac{10}{2}\cdot(2\cdot3+9\cdot4)\\[0.5em]&=5\cdot(6+36)\\[0.5em]&=210\end{align*}$$

したがって、$\text{(a)}$より

$$\begin{align*}\sum_{k=5}^{10}{a_k}&=210-36\\[0.5em]&=174\end{align*}$$

であるとわかります。

(2)初項$-3$、公比$2$の等比数列の第$3～7$項の和

　この等比数列を$\{b_n\}$とおくと、上記より第$3$項から第$7$項までの和は

$$\sum_{k=3}^7{b_k}=\sum_{k=1}^7{b_k}-\sum_{k=1}^2{b_k}\tag{c}$$

と書けます。

また、この等比数列$\{b_n\}$の一般項は、初項が$-3$、公比が$2$なので

$$b_n=-3\cdot2^{n-1}$$

関連：等比数列とは？

第$n$部分和は

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^n{b_n}&=\frac{-3\cdot(2^n-1)}{2-1}\\[0.5em]\therefore \sum_{k=1}^n{b_n}&=-3\cdot(2^n-1)\tag{d}\end{align*}$$

と書けます。

関連：等比数列の和

$\text{(d)}$に$n=2$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^2{b_k}&=-3\cdot(2^2-1)\\[0.5em]&=-3\cdot(4-1)\\[0.5em]&=-9\end{align*}$$

$\text{(d)}$に$n=7$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^7{b_k}&=-3\cdot(2^7-1)\\[0.5em]&=-3\cdot(128-1)\\[0.5em]&=-381\end{align*}$$

したがって、$\text{(c)}$より

$$\begin{align*}\sum_{k=3}^7{b_k}&=-381-(-9)\\[0.5em]&=-372\end{align*}$$

であるとわかります。

関連：$\sum$をもちいた数列の和の表し方（部分和）

関連：等差数列の和

関連：等比数列の和