等差数列の第n部分和の極限（等差級数）

無限等差数列のすべての項の和を等差級数（あるいは無限等差級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公差$d$の等差級数は

$$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}$$

により求められます。

関連：等差数列の和

これが発散するか収束するかは初項$a$と公差$d$によって決まります。

$a=0$かつ$d=0$のとき

　$a=0,d=0$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2\cdot0+(n-1)\cdot0\bigr\}\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\cdot0\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}{0}\\[0.5em]&=0\end{align*}$$

となり、このときの等差級数$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}$は$0$に収束することがわかります。

$a=0$かつ$d\neq0$のとき

　$a=0$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2\cdot0+(n-1)d\bigr\}\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\cdot(n-1)d\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}{\frac{n(n-1)d}{2}}\end{align*}$$

となります。

$n\to\infty$のとき$n(n-1)\to\infty$です。

したがって、このときの等差級数$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}$は公差$d$によって正の無限大か負の無限大のどちらに発散するかが決まり、

$$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\left\{\begin{array}{l}\infty&(d>0)\\[0.5em]-\infty&(d<0)\end{array}\right.$$

となります。

$a\neq0$かつ$d=0$のとき

　$d=0$を代入すると

$$\begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\bigl\{2a+(n-1)\cdot0\bigr\}\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\cdot2a\\[0.5em]&=\lim_{n\to\infty}{na}\end{align*}$$

となります。

したがって、このときの等差級数$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}$は初項$a$によって正の無限大か負の無限大のどちらに発散するかが決まり、

$$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\left\{\begin{array}{l}\infty&(a>0)\\[0.5em]-\infty&(a<0)\end{array}\right.$$

となります。

$a\neq0$かつ$d\neq0$のとき

　$n\to\infty$のとき、$2a+(n-1)d$は公差$d$によって

$$\lim_{n\to\infty}\bigl\{2a+(n-1)d\bigr\}=\left\{\begin{array}{l}\infty&(d>0)\\[0.5em]-\infty&(d<0)\end{array}\right.$$

となります。

したがって、このときの等差級数$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}$は

$$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}=\left\{\begin{array}{l}\infty&(d>0)\\[0.5em]-\infty&(d<0)\end{array}\right.$$

となります。

まとめ

　以上の場合分けは、同じ結論となったものでまとめることができます。

$a=0$かつ$d=0$のときのみ等差級数$\sum_{n=1}^\infty\bigl\{a+(n-1)d\bigr\}$は$0$に収束し、これ以外の場合は必ず発散します。

したがって、以下のように場合分けすることができます。

• $a=0$かつ$d=0$のとき：$0$に収束する。
• $a\neq0$または$d\neq0$のとき：発散する。

また、以下のように発散する場合を細かく場合分けすることもできます。

• $a=0$かつ$d=0$のとき：$0$に収束する。
• $d>0$または（$a>0$かつ$d=0$）のとき：正の無限大に発散する。
• $d<0$または（$a<0$かつ$d=0$）のとき：負の無限大に発散する。

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