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2025年5月30日

多項式の因数分解公式

 本記事では、以下の因数分解公式
xy+x+y+1=(x+1)(y+1)xyxy+1=(x1)(y1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)
が因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出せることを確かめてみます。

xy+x+y+1

 多項式xy+x+y+1は以下のように因数分解します。
xy+x+y+1=(xy+x)+(y+1)=x(y+1)+(y+1)xy+x+y+1=(x+1)(y+1)

xyxy+1

 多項式xyxy+1は以下のように因数分解します。
xyxy+1=xyx+(y)(1)=(xyx)+{(y)(1)}=x(y1)+(1)(y1)=x(y1)(y1)xyxy+1=(x1)(y1)
別の方法として、xy+x+y+1の因数分解公式にx=x,y=yを代入する方法があります。
xy+x+y+1=(x+1)(y+1)(x)(y)+(x)+(y)+1=(x+1)(y+1)xyxy+1={(x)(1)}{(y)(1)}=(1)(x1)(1)(y1)=(1)2(x1)(y1)xyxy+1=(x1)(y1)
となり、これはxyxy+1の因数分解公式
xyxy+1=(x1)(y1)
を得たことになります。

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

 多項式a2+b2+c2+2ab+2bc+2caは以下のように因数分解します。
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+(ab+ab)+(bc+bc)+(ca+ca)=a2+b2+c2+ab+ab+bc+bc+ca+ca=a2+ab+ca+ab+b2+bc+ca+bc+c2=(a2+ab+ca)+(ab+b2+bc)+(ca+bc+c2)=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

a3+b3+c33abc

 多項式a3+b3+c33abcは以下のように因数分解します。
a3+b3+c33abc=a3+b3+c3+0+0+0+0+0+0+(3abc)=a3+b3+c3+(a2ba2b)+(b2cb2c)+(c2ac2a)+(ab2ab2)+(bc2bc2)+(ca2ca2)+(abcabcabc)=a3+b3+c3+a2ba2b+b2cb2c+c2ac2a+ab2ab2+bc2bc2+ca2ca2abcabcabc=(a3+ab2+c2aa2babcca2)+(a2b+b3+bc2ab2b2cabc)+(ca2+b2c+c3abcbc2c2a)=a(a2+b2+c2abbcca)+b(a2+b2+c2abbcca)+c(a2+b2+c2abbcca)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)

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