本記事では、以下の因数分解公式
\begin{align*}xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\\[1em]xy-x-y+1&=(x-1)(y-1)\\[1em]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca&=(a+b+c)^2\\[1em]a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
が因数分解の基本である共通因数の括りだしによって導き出せることを確かめてみます。
$xy+x+y+1$
多項式$xy+x+y+1$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}xy+x+y+1&=(xy
+x)+(y+1)\\[0.5em]&=x(y+1)+(y+1)\\[0.5em]\large\therefore
xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\end{align*}
$xy-x-y+1$
多項式$xy-x-y+1$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}xy-x-y+1&=xy-x+(-y)-(-1)\\[0.5em]&=(xy-x)+\bigl\{(-y)-(-1)\bigr\}\\[0.5em]&=x(y-1)+(-1)(y-1)\\[0.5em]&=x(y-1)-(y-1)\\[0.5em]\large\therefore
xy-x-y+1&=(x-1)(y-1)\end{align*}
別の方法として、$xy+x+y+1$の因数分解公式に$x=-x',
y=-y'$を代入する方法があります。
\begin{align*}xy+x+y+1&=(x+1)(y+1)\\[0.5em](-x')(-y')+(-x')+(-y')+1&=(-x'+1)(-y'+1)\\[0.5em]x'
y'-x'-y'+1&=\bigl\{(-x')-(-1)\bigr\}\bigl\{(-y')-(-1)\bigr\}\\[0.5em]&=(-1)(x'-1)(-1)(y'-1)\\[0.5em]&=(-1)^2(x'-1)(y'-1)\\[0.5em]\therefore
x' y'-x'-y'+1&=(x'-1)(y'-1)\end{align*}
となり、これは$xy-x-y+1$の因数分解公式
\[xy-x-y+1=(x-1)(y-1)\]
を得たことになります。
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
多項式$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\[0.5em]&=a^2+b^2+c^2+(ab
+ab)+(bc +bc)+(ca +ca)\\[0.5em]&=a^2+b^2+c^2+ab +ab +bc +bc +ca
+ca\\[0.5em]&=a^2+ab+ca +ab+b^2+bc
+ca+bc+c^2\\[0.5em]&=(a^2+ab+ca)+(ab
+b^2+bc)+(ca+bc+c^2)\\[0.5em]&=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)\\[0.5em]&=(a+b+c)(a+b+c)\\[0.5em]&\large\therefore
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\end{align*}
$a^3+b^3+c^3-3abc$
多項式$a^3+b^3+c^3-3abc$は以下のように因数分解します。
\begin{align*}&a^3+b^3+c^3-3abc\\[0.5em]&=a^3+b^3+c^3+0+0+0+0+0+0+(-3abc)\\[0.5em]&=a^3+b^3+c^3+(a^2b-a^2b)+(b^2c-b^2c)+(c^2a-c^2a)\\
&\quad+(ab^2-ab^2)+(bc^2-bc^2)+(ca^2-ca^2)+(-abc -abc
-abc)\\[0.5em]&=a^3+b^3+c^3+a^2b-a^2b+b^2c-b^2c+c^2a-c^2a\\
&\quad+ab^2-ab^2+bc^2-bc^2+ca^2-ca^2-abc-abc-abc\\[0.5em]&=(a^3+ab^2+c^2a-a^2b-abc-ca^2)+(a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc)\\
&\quad+(ca^2+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a)\\[0.5em]&=a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
&\quad +c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\[0.5em]&\large\therefore
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
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