2つのベクトルが同じ向きであるか互いに反対向きであるとき、これらのベクトルは平行であるといいます。
$\vec{A}=(a_1,a_2),\vec{B}=(b_1,b_2)$の2つのベクトルが平行であるならば
\begin{align*}\vec{A}&=k\vec{B}&(k:実数)\tag{a}\\[0.5em]a_1b_2-a_2b_1&=0\tag{b}\end{align*}
が成り立ちます。
ベクトルの実数倍はベクトルの向きは変わらないか逆向きになるので$\text{(a)}$が平行なベクトル間で成り立つことはわかりますが、なぜ平行ならば$\text{(b)}$が成り立つといえるのでしょうか？
2通りの方法で確かめてみます。
1. 比例式
$\text{(a)}$より
\[(a_1,a_2)=k(b_1,b_2)=(kb_1,kb_2)\]
なので、
\begin{align*}a_1:b_1&=a_2:b_2\\[0.5em]
a_1b_2&=a_2b_1\\[0.5em]a_1b_2-a_2b_1&=0\end{align*}
となり、$\text{(b)}$が成り立つことがわかります。
2. $\sinθ$の利用
2つのベクトルが平行であるということは2つのベクトルのなす角が$0°$または$180°$であるということです。
この点に着目し
\[|\vec{A}||\vec{B}|\sinθ\]
という式について考えます。
\begin{align*}|\vec{A}|&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2},\\[0.5em]|\vec{B}|&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\\[1em]\cos\alpha&=\frac{a_1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}},\\[0.5em]\sin\alpha&=\frac{a_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\\[1em]\cos\beta&=\frac{b_1}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}},\\[0.5em]\sin\beta&=\frac{b_2}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\end{align*}
$θ=\alpha-\beta$となるので加法定理より
\begin{align*}\sinθ&=\sin(\alpha-\beta)\\[0.5em]&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[0.5em]&=\frac{a_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\cdot\frac{b_1}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}-\frac{a_1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}\cdot\frac{b_2}{\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\\[0.5em]&=\frac{a_2b_1-a_1b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\end{align*}
したがって、
\begin{align*}|\vec{A}||\vec{B}|\sinθ&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\cdot\frac{a_2b_1-a_1b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}\\[0.5em]&=a_2b_1-a_1b_2\end{align*}
ここで、$θ=0°,180°$のとき$\sinθ=0$、すなわち$|\vec{A}||\vec{B}|\sinθ=0$なので
\[a_2b_1-a_1b_2=0\]
両辺に$-1$を掛けても成り立つので
\[a_1b_2-a_2b_1=0\]
以上から$\vec{A},\vec{B}$が平行なとき$\text{(b)}$が成り立つことがわかります。
ちなみに$|\vec{A}||\vec{B}|\sinθ$はベクトルの外積に関係しています。
Share:
