横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年3月24日

なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の3分の1なのか?

 三角錐の体積はなぜ三角柱の体積の1313になるのでしょうか?


 上図の三角柱ABC-DEFABC-DEFをもちいて考えます。
この三角柱を面DBCDBCで切ってできる三角錐D-ABCD-ABC(以下、立体II)と面DFBDFBで切ってできる三角錐B-DEFB-DEF(以下、立体IIII)と残りの三角錐B-CDFB-CDF(以下、立体IIIIII)の3つに切り分けます。
3つの三角錐の体積が等しければ三角柱の体積の1313が三角錐の体積であることがわかります。

三角錐の体積が三角柱の体積の1313であることを確かめる試みなので三角錐の体積の公式
13×()×()13×()×()
は使えませんが、体積を求めるには底面積と高さが必要という点に着目して2つの三角錐の体積が等しいことを確かめます。


 立体IIと立体IIIIを比較します。
立体IIの底面を面ABCABC、立体IIIIの底面を面DEFDEFとすると、三角柱の底面である両者は合同な図形なので面積が等しくなります。
また、面ABCABCに垂直な辺DADAと面DEFDEFに垂直な辺BEBEの長さは立体II、立体IIIIそれぞれの高さとなります。これらの辺は三角柱の側面の平行な辺なので長さは等しいです。

したがって、立体IIと立体IIIIの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。


 立体IIと立体IIIIIIを比較します。
立体IIの底面を面ACDACD、立体IIIIの底面を面CFDCFDとすると、三角柱の側面ACFDACFDを対角線CDCDで分割したものであることがわかります。面ACFDACFDは長方形なので対角線で分割してできた2つの直角三角形の面積は等しくなります。
ACDACDと面CFDCFDは面ABCABCに対し垂直なので、立体IIと立体IIIIIIの高さはABCABCの辺ACACを底辺としたときの高さとなります。

したがって、立体IIと立体IIIIIIの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。


 以上より(I)=(II)(I)=(II)かつ(I)=(III)(I)=(III)となるから
(I)=(II)=(III)(I)=(II)=(III)
が成り立つので、三角錐の体積は三角柱の体積の1313であることがわかります。

 同じように四角柱の体積の1313が四角錐の体積になることを確かめてみます。
上図の四角柱(直方体)ABCD-EFGHABCD-EFGHをもちいて考えます。
この直方体を四角錐H-ABCDH-ABCD(以下、立体II)、四角錐A-EFGHA-EFGH(以下、立体IIII)、残りの立体IIIIIIに分割します。立体IIIIIIは面ABGHABGHで切ることで三角錐A-BFGA-BFG(以下、立体IVIV)、三角錐H-BCGH-BCG(以下、立体VV)の2つに分割できます。
立体II、立体IIII、立体IIIIIIの体積が等しければ直方体の体積の1313が四角錐の体積であることがわかります。

 立体IIと立体IIIIを比較します。
立体IIの面ABCDABCDと立体IIIIの面EFGHEFGHを底面とすると、これらは合同な四角形なので面積が等しいです。立体IIの辺DHDHと立体IIIIの辺AEAEの長さが高さとなり、この2辺は長さが等しいので立体IIと立体IIIIの体積は等しいことがわかります。

 立体IIと立体IIIIIIを比較します。
単純には比較できないので立体IIを面ACHACHで切り、三角錐H-ACDH-ACD(以下、立体VIVI)と三角錐H-ABCH-ABC(以下、立体VIIVII)に分割します。

立体VIVIの底面を面ACDACD、立体VIIVIIの底面を面ABCABCとすると、この2つは面ABCDABCDを対角線ACACで切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、立体VIVIと立体VIIVIIは立体IIの頂点と底面を通る面で切り分けてできた図形なので高さが等しいので、立体VIVIと立体VIIVIIの体積は等しいことがわかります。

立体IVIVの底面を面AFGAFG、立体VVの底面を面BCGBCGとすると、この2つは面BCGFBCGFを対角線BGBGで切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、高さとなる辺ABABと辺GHGHは直方体の平行な辺なので長さが等しいので、立体IVIVと立体VVの体積は等しいことがわかります。

ここで、直方体ABCD-EFGHABCD-EFGHの辺ABABと平行な辺の長さをxx、辺ADADと平行な辺の長さをyy、辺AEAEと平行な辺の長さをzzとすると、立体IIの体積は立体VIVIの体積の2倍なので
2×13×(12AD×CD)×HD=13xyz2×13×(12AD×CD)×HD=13xyz
立体IIIIIIの体積は立体IVIVの体積の2倍なので
2×13×(12BF×FG)×AB=13xyz2×13×(12BF×FG)×AB=13xyz
したがって、立体IIと立体IIIIIIの体積は等しいことがわかります。

 以上より(I)=(II)(I)=(II)かつ(I)=(III)(I)=(III)となるから
(I)=(II)=(III)(I)=(II)=(III)
が成り立つので、四角錐の体積は四角柱の体積の1313であることがわかります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

Blog Archive

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ