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2022年3月24日

なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の3分の1なのか?

 三角錐の体積はなぜ三角柱の体積の\dfrac{1}{3}になるのでしょうか?


 上図の三角柱\text{ABC-DEF}をもちいて考えます。
この三角柱を面\text{DBC}で切ってできる三角錐\text{D-ABC}(以下、立体I)と面\text{DFB}で切ってできる三角錐\text{B-DEF}(以下、立体II)と残りの三角錐\text{B-CDF}(以下、立体III)の3つに切り分けます。
3つの三角錐の体積が等しければ三角柱の体積の\dfrac{1}{3}が三角錐の体積であることがわかります。

三角錐の体積が三角柱の体積の\dfrac{1}{3}であることを確かめる試みなので三角錐の体積の公式
\frac{1}{3}\times(底面積)\times(高さ)


は使えませんが、体積を求めるには底面積と高さが必要という点に着目して2つの三角錐の体積が等しいことを確かめます。


 立体Iと立体IIを比較します。
立体Iの底面を面\text{ABC}、立体IIの底面を面\text{DEF}とすると、三角柱の底面である両者は合同な図形なので面積が等しくなります。
また、面\text{ABC}に垂直な辺\text{DA}と面\text{DEF}に垂直な辺\text{BE}の長さは立体I、立体IIそれぞれの高さとなります。これらの辺は三角柱の側面の平行な辺なので長さは等しいです。

したがって、立体Iと立体IIの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。


 立体Iと立体IIIを比較します。
立体Iの底面を面\text{ACD}、立体IIの底面を面\text{CFD}とすると、三角柱の側面\text{ACFD}を対角線\text{CD}で分割したものであることがわかります。面\text{ACFD}は長方形なので対角線で分割してできた2つの直角三角形の面積は等しくなります。
\text{ACD}と面\text{CFD}は面\text{ABC}に対し垂直なので、立体Iと立体IIIの高さは△\text{ABC}の辺\text{AC}を底辺としたときの高さとなります。

したがって、立体Iと立体IIIの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。


 以上より(立体Iの体積)=(立体IIの体積)かつ(立体Iの体積)=(立体IIIの体積)となるから
(立体Iの体積)=(立体IIの体積)=(立体IIIの体積)
が成り立つので、三角錐の体積は三角柱の体積の\dfrac{1}{3}であることがわかります。

 同じように四角柱の体積の\dfrac{1}{3}が四角錐の体積になることを確かめてみます。
上図の四角柱(直方体)\text{ABCD-EFGH}をもちいて考えます。
この直方体を四角錐\text{H-ABCD}(以下、立体I)、四角錐\text{A-EFGH}(以下、立体II)、残りの立体IIIに分割します。立体IIIは面\text{ABGH}で切ることで三角錐\text{A-BFG}(以下、立体IV)、三角錐\text{H-BCG}(以下、立体V)の2つに分割できます。
立体I、立体II、立体IIIの体積が等しければ直方体の体積の\dfrac{1}{3}が四角錐の体積であることがわかります。

 立体Iと立体IIを比較します。
立体Iの面\text{ABCD}と立体IIの面\text{EFGH}を底面とすると、これらは合同な四角形なので面積が等しいです。立体Iの辺\text{DH}と立体IIの辺\text{AE}の長さが高さとなり、この2辺は長さが等しいので立体Iと立体IIの体積は等しいことがわかります。

 立体Iと立体IIIを比較します。
単純には比較できないので立体Iを面\text{ACH}で切り、三角錐\text{H-ACD}(以下、立体V\hspace{-0.2em}I)と三角錐\text{H-ABC}(以下、立体V\hspace{-0.2em}II)に分割します。

立体V\hspace{-0.2em}Iの底面を面\text{ACD}、立体V\hspace{-0.2em}IIの底面を面\text{ABC}とすると、この2つは面\text{ABCD}を対角線\text{AC}で切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、立体V\hspace{-0.2em}Iと立体V\hspace{-0.2em}IIは立体Iの頂点と底面を通る面で切り分けてできた図形なので高さが等しいので、立体V\hspace{-0.2em}Iと立体V\hspace{-0.2em}IIの体積は等しいことがわかります。

立体IVの底面を面\text{AFG}、立体Vの底面を面\text{BCG}とすると、この2つは面\text{BCGF}を対角線\text{BG}で切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、高さとなる辺\text{AB}と辺\text{GH}は直方体の平行な辺なので長さが等しいので、立体IVと立体Vの体積は等しいことがわかります。

ここで、直方体\text{ABCD-EFGH}の辺\text{AB}と平行な辺の長さをx、辺\text{AD}と平行な辺の長さをy、辺\text{AE}と平行な辺の長さをzとすると、立体Iの体積は立体V\hspace{-0.2em}Iの体積の2倍なので
2×\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{2}\text{AD}×\text{CD}\right)×\text{HD}=\frac{1}{3}xyz
立体IIIの体積は立体IVの体積の2倍なので
2×\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{2}\text{BF}×\text{FG}\right)×\text{AB}=\frac{1}{3}xyz
したがって、立体Iと立体IIIの体積は等しいことがわかります。

 以上より(立体Iの体積)=(立体IIの体積)かつ(立体Iの体積)=(立体IIIの体積)となるから
(立体Iの体積)=(立体IIの体積)=(立体IIIの体積)
が成り立つので、四角錐の体積は四角柱の体積の\dfrac{1}{3}であることがわかります。

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