なぜ三角錐の体積は三角柱の体積の3分の1なのか？

　三角錐の体積はなぜ三角柱の体積の1/3になるのでしょうか？

　三角柱ABC-DEFについて考えます。

この三角柱を面DBCで切ってできる三角錐D-ABC（以下立体Ⅰ）と面DFBで切ってできる三角錐B-DEF（以下立体Ⅱ）と残りの三角錐B-CDF（以下立体Ⅲ）の3つに切り分けます。

3つの三角錐の体積が等しければ三角柱の体積の1/3が三角錐の体積であることがわかります。

三角錐の体積が三角柱の体積の1/3であることを確かめるので、三角錐の体積の公式
\[\frac{1}{3}(底面積)×(高さ)\]
は使えません。
しかし、体積を求めるには底面積と高さが必要なので、3つのうち2つを選び底面積と高さが等しいことがわかれば、2つの三角錐の体積が等しいことを確かめられます。

　立体Ⅰと立体Ⅱを比較します。

立体Ⅰの底面を面ABC、立体Ⅱの底面を面DEFとすると、三角柱の底面である両者は合同な図形なので面積が等しくなります。

また、面ABCに垂直な辺DAと面DEFに垂直な辺BEの長さは立体Ⅰ、立体Ⅱそれぞれの高さとなります。これらの辺は三角柱の側面の平行な辺なので長さは等しいです。

したがって、立体Ⅰと立体Ⅱの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。

　立体Ⅰと立体Ⅲを比較します。

立体Ⅰの底面を面ACD、立体Ⅱの底面を面CFDとすると、三角柱の側面ACFDを対角線CDで分割したものであることがわかります。面ACFDは長方形なので対角線で分割してできた2つの直角三角形の面積は等しくなります。

面ACDと面CFDは面ABCに対し垂直なので、立体Ⅰと立体Ⅲの高さは△ABCの辺ACを底辺としたときの高さとなります。

したがって、立体Ⅰと立体Ⅲの底面積と高さがそれぞれ等しいため、体積が等しいことがわかります。

　以上より（立体Ⅰの体積）=（立体Ⅱの体積）かつ（立体Ⅰの体積）=（立体Ⅲの体積）となるから

\[(立体Ⅰの体積)=(立体Ⅱの体積)=(立体Ⅲの体積)\]

が成り立つので、三角錐の体積は三角柱の体積の1/3であることがわかります。

　同じように四角柱の体積の1/3が四角錐の体積になることを確かめてみます。

四角柱（直方体）ABCD-EFGHについて考えます。

この直方体を四角錐H-ABCD（以下立体Ⅰ）、四角錐A-EFGH（以下立体Ⅱ）、残りの立体Ⅲに分割します。立体Ⅲは面ABGHで切ることで三角錐A-BFG（以下立体Ⅳ）、三角錐H-BCG（以下立体Ⅴ）の2つに分割できます。

立体Ⅰ、立体Ⅱ、立体Ⅲの体積が等しければ直方体の体積の1/3が四角錐の体積であることがわかります。

　立体Ⅰと立体Ⅱを比較します。

立体Ⅰの面ABCDと立体Ⅱの面EFGHを底面とすると、これらは合同な四角形なので面積が等しいです。立体Ⅰの辺HDと立体Ⅱの辺AEの長さが高さとなり、この2辺は長さが等しいので立体Ⅰと立体Ⅱの体積は等しいことがわかります。

　立体Ⅰと立体Ⅲを比較します。

単純には比較できないので立体Ⅰを面ACHで切り、三角錐H-ACD（以下立体Ⅵ）と三角錐H-ABC（以下立体Ⅶ）に分割します。

立体Ⅵの底面を面ACD、立体Ⅶの底面を面ABCとすると、この2つは面ABCDを対角線ACで切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、立体Ⅵと立体Ⅶは立体Ⅰの頂点と底面を通る面で切り分けてできた図形なので高さが等しいので、立体Ⅵと立体Ⅶの体積は等しいことがわかります。

立体Ⅳの底面を面AFG、立体Ⅴの底面を面BCGとすると、この2つは面BCGFを対角線BGで切り分けたものなので合同で面積が等しいです。
また、高さとなる辺ABと辺HGは直方体の平行な辺なので長さが等しいので、立体Ⅳと立体Ⅴの体積は等しいことがわかります。

ここで、直方体ABCD-EFGHの辺ABと平行な辺の長さを$x$、辺ADと平行な辺の長さを$y$、辺AEと平行な辺の長さを$z$とすると、立体Ⅰの体積は立体Ⅵの体積の2倍なので

\[2×\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{2}AD×CD\right)×HD=\frac{1}{3}xyz\]

立体Ⅲの体積は立体Ⅳの体積の2倍なので

\[2×\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{2}BF×FG\right)×AB=\frac{1}{3}xyz\]

したがって、立体Ⅰと立体Ⅲの体積は等しいことがわかります。

　以上より（立体Ⅰの体積）=（立体Ⅱの体積）かつ（立体Ⅰの体積）=（立体Ⅲの体積）となるから

\[(立体Ⅰの体積)=(立体Ⅱの体積)=(立体Ⅲの体積)\]

が成り立つので、四角錐の体積は四角柱の体積の1/3であることがわかります。