円錐の底面の半径と母線の長さの比

　円錐の底面の半径と母線の長さの比は、円錐のどのようなところに現れるでしょうか？

　円錐の母線とは、円錐の頂点から底面の辺（底面の円周）までを結ぶ直線のことで、円錐の展開図においては側面のおうぎ形の半径にあたります。

円錐の底面の半径と母線の長さの比というのは底面の半径を$r$、母線の長さを$a$としたときの$r:a$、または比の値で$\dfrac{r}{a}$と表されるものを指します。
これ円錐のどのようなところに現れるのかを調べます。

円錐の底面の円周とおうぎ形の弧

　円錐の底面の円周と側面のおうぎ形の弧について考えます。

　底面の円の半径を$r$とすると、円周の長さは$\mathbf{2\pi r}$となります。そして、これは側面のおうぎ形の弧の長さでもあります。

　側面のおうぎ形の弧の長さを母線の長さ$a$を使って表してみます。
側面のおうぎ形と同じ半径$a$をもつ円の円周の長さを求めると$\mathbf{2\pi a}$となります。

上図を見ると側面のおうぎ形は半径$a$の円の一部であることがわかります。これは、おうぎ形の弧もこの円の円周の一部であるということです。この関係を利用すると

\begin{align*}2\pi r&=2\pi a\times\frac{2\pi r}{2\pi a}\\ \\ &=2\pi a\times\frac{r}{a}\tag1\end{align*}

となります。
分数$\dfrac{2\pi r}{2\pi a}$は側面のおうぎ形の弧の長さに対する底面の円周の長さの割合です。これは約分してより簡単な形にできるので、2行目で約分しています。ここで円錐の底面の半径と母線の長さの比が登場します。

また、おうぎ形の弧の長さと中心角は比例の関係にあり、中心角が$360°$のとき、おうぎ形の弧の長さは円周になることを考えると、側面のおうぎ形の中心角を$θ$としたとき、円周の長さと円の中心角$360°$に対するおうぎ形の中心角の割合を使って、おうぎ形の弧の長さは

\[2\pi r=2\pi a\times\frac{\theta}{360°}\tag2\]

と表されます。

(1)と(2)は割合の部分だけ違いますが、どちらも半径$a$の円の円周に割合を掛けて側面のおうぎ形の弧の長さになることが共通しているので

\[\frac{r}{a}=\frac{\theta}{360°}\]

が成り立ちます。

このことから円錐の底面の半径と母線の長さの比は$360°$に対する側面のおうぎ形の中心角の割合と等しいことがわかります。

これを利用すれば、側面のおうぎ形の中心角$\theta$は

\[\theta=360°\times\frac{r}{a}\]

で求められることがわかります。

円錐の底面積と側面積

　円錐の底面積と側面積について考えます。

半径$r$である底面の面積は$\pi r^2$となります。

側面のおうぎ形と同じ半径$a$をもつ円の面積は$\pi a^2$となります。
おうぎ形の中心角と面積は比例の関係にあり、中心角が$360°$のとき、おうぎ形の面積は円の面積になることを考えると、半径$a$の円の面積と$360°$に対するおうぎ形の中心角$\theta$の割合を使って、側面のおうぎ形の面積は

\[\pi a^2\times\frac{\theta}{360°}\]

で求められます。

上で$\dfrac{r}{a}=\dfrac{\theta}{360°}$であることがわかったので、これを使って置き換えると、側面のおうぎ形の面積は

\[\pi a^2\times\frac{r}{a}=\pi ar\]

で求められることがわかります。

したがって、円錐の底面積と側面積の比は

\[\frac{\pi r^2}{\pi ar}=\frac{r}{a}\]

となり、これもまた円錐の底面の半径と母線の長さの比に等しいことがわかります。

　以上より、円錐の底面の半径と母線の長さの比は円錐において

\[\frac{(底面の半径)\qquad}{(母線)\quad}=\frac{(側面の中心角)\qquad}{360°}=\frac{(底面積)\quad}{(側面積)\quad}\]

という関係も表していることがわかります。

関連：おうぎ形の弧の長さや面積はなぜ角度の分数を使って求められるのか？