3つの外接する円の共通接線の交点と三角形の関係は？

「半径がそれぞれ$1,2,3$の円$O_1,O_2,O_3$が互いに外接している。
円$O_1$と$O_2$の接点$Q$を通る共通接線、円$O_2$と$O_3$の接点$R$を通る共通接線、円$O_3$と$O_1$の接点$S$を通る共通接線は点$P$で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。

(1)各円の中心を頂点とする$△O_1O_2O_3$において点$P$はなんという点であるか？三角形に関係する点の名称で答えよ。

(2)$PQ$の長さを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1)

　円$O_1$と２本の接線$PQ,PS$に着目します。

接線$PQ,PS$はそれぞれ円$O_1$の半径$O_1Q,O_1S$に対して垂直です。

また、円外の点からその点を通る2本の接線上の接点までの距離は等しくなるので$PQ=PS$となります。

関連：The two tangent theoreom（2接線の定理）

すなわち、円$O_1$と接線$PQ,PS$について

\[O_1Q⊥PQ,\quad O_1S⊥PS,\quad PQ=PS\]

が成り立つということです。

同様に円$O_2$と接線$PQ,PR$、円$O_3$と接線$PR,PS$についても言えるので

\begin{array}{c}O_2Q⊥PQ,& O_2R⊥PR,& PQ=PR\\[0.5em]O_3R⊥PR,& O_3S⊥PS,& PR=PS\end{array}

が成り立つことがわかります。

　以上をまとめると

\begin{array}{c}O_1O_2⊥PQ,&O_2O_3⊥PR,& O_3O_1⊥PS\\[0.5em]&PQ=PR=PS&\end{array}

となります。

これは、$O_1O_2,O_2O_3,O_3O_1$それぞれに対する垂線$PQ,PR,PS$の長さ、すなわち点$P$から$△O_1O_2O_3$の各辺までの距離が等しいということなので、点$P$は$△O_1O_2O_3$の内心であることがわかります。

関連：三角形の内心が角の二等分線の交点で求められるのはナゼ？

(2)

　円$O_1,O_2,O_3$の半径はそれぞれ$1,2,3$なので、$O_1O_2=3,O_2O_3=5,O_3O_1=4$となります。
したがって、$△O_1O_2O_3$の面積はヘロンの公式より

\begin{align*}s&=\frac{O_1O_2+O_2O_3+O_3O_1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+5+4}{2}\\[0.5em]&=6\\[1em]△O_1O_2O_3&=\sqrt{s(s-O_1O_2)(s-O_2O_3)(s-O_3O_1)}\\[0.5em]&=\sqrt{6\cdot3\cdot1\cdot2}\\[0.5em]&=6\end{align*}

となります。

関連：ヘロンの公式　三角形の3辺から面積を求める公式

また、$△O_1O_2O_3$の各頂点と内心$P$を線で結ぶと$△PO_1O_2,△PO_2O_3,△PO_3O_1$の3つに分割されます。
$△O_1O_2O_3$の各辺を底辺と考えるとこれらの三角形はそれぞれ$PQ,PR,PS$の長さを高さとし、(1)より$PQ=x$とおくと$PQ=PR=PS=x$となります。

　$△PO_1O_2,△PO_2O_3,△PO_3O_1$それぞれの面積の和が$△O_1O_2O_3$の面積となるので、ここから

\begin{align*}△PO_1O_2+△PO_2O_3+△PO_3O_1&=△O_1O_2O_3\\[0.5em]\frac{1}{2}\cdot3x+\frac{1}{2}\cdot5x+\frac{1}{2}\cdot4x&=6\\[0.5em]\frac{1}{2}(3x+5x+4x)&=6\\[0.5em]6x&=6\\[0.5em]x&=1\end{align*}

となり、$PQ$の長さは$1$であるとわかります。