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「半径がそれぞれ$1,2,3$の円$O_1,O_2,O_3$が互いに外接している。
円$O_1$と$O_2$の接点$Q$を通る共通接線、円$O_2$と$O_3$の接点$R$を通る共通接線、円$O_3$と$O_1$の接点$S$を通る共通接線は点$P$で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。
円$O_1$と$O_2$の接点$Q$を通る共通接線、円$O_2$と$O_3$の接点$R$を通る共通接線、円$O_3$と$O_1$の接点$S$を通る共通接線は点$P$で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。
(1)各円の中心を頂点とする$△O_1O_2O_3$において点$P$はなんという点であるか？三角形に関係する点の名称で答えよ。
(2)$PQ$の長さを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
(1)
円$O_1$と２本の接線$PQ,PS$に着目します。
また、円外の点からその点を通る2本の接線上の接点までの距離は等しくなるので$PQ=PS$となります。
すなわち、円$O_1$と接線$PQ,PS$について
\[O_1Q⊥PQ,\quad O_1S⊥PS,\quad PQ=PS\]
が成り立つということです。
同様に円$O_2$と接線$PQ,PR$、円$O_3$と接線$PR,PS$についても言えるので
\begin{array}{c}O_2Q⊥PQ,& O_2R⊥PR,& PQ=PR\\[0.5em]O_3R⊥PR,&
O_3S⊥PS,& PR=PS\end{array}
が成り立つことがわかります。
以上をまとめると
\begin{array}{c}O_1O_2⊥PQ,&O_2O_3⊥PR,&
O_3O_1⊥PS\\[0.5em]&PQ=PR=PS&\end{array}
となります。
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(2)
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円$O_1,O_2,O_3$の半径はそれぞれ$1,2,3$なので、$O_1O_2=3,O_2O_3=5,O_3O_1=4$となります。
したがって、$△O_1O_2O_3$の面積はヘロンの公式より
したがって、$△O_1O_2O_3$の面積はヘロンの公式より
\begin{align*}s&=\frac{O_1O_2+O_2O_3+O_3O_1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+5+4}{2}\\[0.5em]&=6\\[1em]△O_1O_2O_3&=\sqrt{s(s-O_1O_2)(s-O_2O_3)(s-O_3O_1)}\\[0.5em]&=\sqrt{6\cdot3\cdot1\cdot2}\\[0.5em]&=6\end{align*}
となります。
また、$△O_1O_2O_3$の各頂点と内心$P$を線で結ぶと$△PO_1O_2,△PO_2O_3,△PO_3O_1$の3つに分割されます。
$△O_1O_2O_3$の各辺を底辺と考えるとこれらの三角形はそれぞれ$PQ,PR,PS$の長さを高さとし、(1)より$PQ=x$とおくと$PQ=PR=PS=x$となります。
$△PO_1O_2,△PO_2O_3,△PO_3O_1$それぞれの面積の和が$△O_1O_2O_3$の面積となるので、ここから
\begin{align*}△PO_1O_2+△PO_2O_3+△PO_3O_1&=△O_1O_2O_3\\[0.5em]\frac{1}{2}\cdot3x+\frac{1}{2}\cdot5x+\frac{1}{2}\cdot4x&=6\\[0.5em]\frac{1}{2}(3x+5x+4x)&=6\\[0.5em]6x&=6\\[0.5em]x&=1\end{align*}
となり、$PQ$の長さは$1$であるとわかります。
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