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円\text{O$_1$}と\text{O$_2$}の接点\text{Q}を通る共通接線、円\text{O$_2$}と\text{O$_3$}の接点\text{R}を通る共通接線、円\text{O$_3$}と\text{O$_1$}の接点\text{S}を通る共通接線は点\text{P}で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。
(1)各円の中心を頂点とする△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}において点\text{P}はなんという点であるか？三角形に関係する点の名称で答えよ。
(2)\text{PQ}の長さを求めよ。」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
(1)
円\text{O$_1$}と２本の接線\text{PQ, PS}に着目します。
接線\text{PQ,
PS}はそれぞれ円\text{O$_1$}の半径\text{O$_1$Q},\text{O$_1$S}に対して垂直です。
また、円外の点からその点を通る2本の接線上の接点までの距離は等しくなるので\text{PQ}=\text{PS}となります。
また、円外の点からその点を通る2本の接線上の接点までの距離は等しくなるので\text{PQ}=\text{PS}となります。
すなわち、円\text{O$_1$}と接線\text{PQ, PS}について
\text{O$_1$Q}⊥\text{PQ},\quad \text{O$_1$S}⊥\text{PS},\quad
\text{PQ}=\text{PS}
が成り立つということです。
同様に円\text{O$_2$}と接線\text{PQ,
PR}、円\text{O$_3$}と接線\text{PR, PS}についても言えるので
\begin{array}{c}\text{O$_2$Q}⊥\text{PQ},&
\text{O$_2$R}⊥\text{PR},&
\text{PQ}=\text{PR}\\[0.5em]\text{O$_3$R}⊥\text{PR},&
\text{O$_3$S}⊥\text{PS},& \text{PR}=\text{PS}\end{array}
が成り立つことがわかります。
以上をまとめると
\begin{array}{c}\text{O$_1$O$_2$}⊥\text{PQ},&\text{O$_2$O$_3$}⊥\text{PR},&
\text{O$_3$O$_1$}⊥\text{PS}\\[0.5em]&\text{PQ}=\text{PR}=\text{PS}&\end{array}
となります。
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(2)
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したがって、△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}の面積はヘロンの公式より
\begin{align*}s&=\frac{\text{O$_1$O$_2$}+\text{O$_2$O$_3$}+\text{O$_3$O$_1$}}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+5+4}{2}\\[0.5em]&=6\\[1em]△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}&=\sqrt{s(s-\text{O$_1$O$_2$})(s-\text{O$_2$O$_3$})(s-\text{O$_3$O$_1$})}\\[0.5em]&=\sqrt{6\cdot3\cdot1\cdot2}\\[0.5em]&=6\end{align*}
となります。
また、△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}の各頂点と内心\text{P}を線で結ぶと△\text{PO$_1$O$_2$},△\text{PO$_2$O$_3$},△\text{PO$_3$O$_1$}の3つに分割されます。
△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}の各辺を底辺と考えるとこれらの三角形はそれぞれ\text{PQ, PR, PS}の長さを高さとし、(1)より\text{PQ}=xとおくと\text{PQ}=\text{PR}=\text{PS}=xとなります。
△\text{PO$_1$O$_2$},△\text{PO$_2$O$_3$},△\text{PO$_3$O$_1$}それぞれの面積の和が△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}の面積となるので、ここから
\begin{align*}△\text{PO$_1$O$_2$}+△\text{PO$_2$O$_3$}+△\text{PO$_3$O$_1$}&=△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}\\[0.5em]\frac{1}{2}\cdot3x+\frac{1}{2}\cdot5x+\frac{1}{2}\cdot4x&=6\\[0.5em]\frac{1}{2}(3x+5x+4x)&=6\\[0.5em]6x&=6\\[0.5em]x&=1\end{align*}
となり、\text{PQ}の長さは1であるとわかります。
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