3つの外接する円の共通接線の交点と三角形の関係は？ ~ 数学について考えてみる

2022年12月2日

3つの外接する円の共通接線の交点と三角形の関係は？

PLUMBAGO

「半径がそれぞれ

1, 2, 3

$1,2,3$ の円

O_{1}, O_{2}, O_{3}

$\text{O$_1$, O$_2$, O$_3$}$ が互いに外接している。
円

O_{1}

$\text{O$_1$}$ と

O_{2}

$\text{O$_2$}$ の接点

Q

$\text{Q}$ を通る共通接線、円

O_{2}

$\text{O$_2$}$ と

O_{3}

$\text{O$_3$}$ の接点

R

$\text{R}$ を通る共通接線、円

O_{3}

$\text{O$_3$}$ と

O_{1}

$\text{O$_1$}$ の接点

S

$\text{S}$ を通る共通接線は点

P

$\text{P}$ で交わる。
このとき以下の問いに答えよ。

(1)各円の中心を頂点とする $△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ において点 $\text{P}$ はなんという点であるか？三角形に関係する点の名称で答えよ。

(2)

PQ

$\text{PQ}$ の長さを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1)

　円

O_{1}

$\text{O$_1$}$ と２本の接線

PQ, PS

$\text{PQ, PS}$ に着目します。

接線

PQ, PS

$\text{PQ, PS}$ はそれぞれ円

O_{1}

$\text{O$_1$}$ の半径

O_{1} Q, O_{1} S

$\text{O$_1$Q},\text{O$_1$S}$ に対して垂直です。
また、円外の点からその点を通る2本の接線上の接点までの距離は等しくなるので

PQ = PS

$\text{PQ}=\text{PS}$ となります。

すなわち、円

O_{1}

$\text{O$_1$}$ と接線

PQ, PS

$\text{PQ, PS}$ について

O_{1} Q ⊥ PQ, O_{1} S ⊥ PS, PQ = PS

$\text{O$_1$Q}⊥\text{PQ},\quad \text{O$_1$S}⊥\text{PS},\quad \text{PQ}=\text{PS}$

が成り立つということです。

同様に円

O_{2}

$\text{O$_2$}$ と接線

PQ, PR

$\text{PQ, PR}$ 、円

O_{3}

$\text{O$_3$}$ と接線

PR, PS

$\text{PR, PS}$ についても言えるので

\begin{matrix} O_{2} Q ⊥ PQ, & O_{2} R ⊥ PR, & PQ = PR O_{3} R ⊥ PR, & O_{3} S ⊥ PS, & PR = PS \end{matrix}

$\begin{array}{c}\text{O$_2$Q}⊥\text{PQ},& \text{O$_2$R}⊥\text{PR},& \text{PQ}=\text{PR}\\[0.5em]\text{O$_3$R}⊥\text{PR},& \text{O$_3$S}⊥\text{PS},& \text{PR}=\text{PS}\end{array}$

が成り立つことがわかります。

　以上をまとめると

\begin{matrix} O_{1} O_{2} ⊥ PQ, & O_{2} O_{3} ⊥ PR, & O_{3} O_{1} ⊥ PS PQ = PR = PS \end{matrix}

$\begin{array}{c}\text{O$_1$O$_2$}⊥\text{PQ},&\text{O$_2$O$_3$}⊥\text{PR},& \text{O$_3$O$_1$}⊥\text{PS}\\[0.5em]&\text{PQ}=\text{PR}=\text{PS}&\end{array}$

となります。

これは、

O_{1} O_{2}, O_{2} O_{3}, O_{3} O_{1}

$\text{O$_1$O$_2$, O$_2$O$_3$, O$_3$O$_1$}$ それぞれに対する垂線

PQ, PR, PS

$\text{PQ, PR, PS}$ の長さ、すなわち点

P

$\text{P}$ から

△ O_{1} O_{2} O_{3}

$△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の各辺までの距離が等しいということなので、点

P

$\text{P}$ は

△ O_{1} O_{2} O_{3}

$△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の内心であることがわかります。

(2)

　円

O_{1}, O_{2}, O_{3}

$\text{O$_1$, O$_2$, O$_3$}$ の半径はそれぞれ

1, 2, 3

$1,2,3$ なので、

O_{1} O_{2} = 3, O_{2} O_{3} = 5,

$\text{O$_1$O$_2$}=3,\text{O$_2$O$_3$}=5,$

O_{3} O_{1} = 4

$\text{O$_3$O$_1$}=4$ となります。
したがって、

△ O_{1} O_{2} O_{3}

$△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の面積はヘロンの公式より

\begin{matrix} s & = \frac{O_{1} O_{2} + O_{2} O_{3} + O_{3} O_{1}}{2} = \frac{3 + 5 + 4}{2} = 6 △ O_{1} O_{2} O_{3} & = \sqrt{s (s - O_{1} O_{2}) (s - O_{2} O_{3}) (s - O_{3} O_{1})} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2} = 6 \end{matrix}

$\begin{align*}s&=\frac{\text{O$_1$O$_2$}+\text{O$_2$O$_3$}+\text{O$_3$O$_1$}}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+5+4}{2}\\[0.5em]&=6\\[1em]△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}&=\sqrt{s(s-\text{O$_1$O$_2$})(s-\text{O$_2$O$_3$})(s-\text{O$_3$O$_1$})}\\[0.5em]&=\sqrt{6\cdot3\cdot1\cdot2}\\[0.5em]&=6\end{align*}$

となります。

また、 $△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の各頂点と内心 $\text{P}$ を線で結ぶと $△\text{PO$_1$O$_2$},△\text{PO$_2$O$_3$},△\text{PO$_3$O$_1$}$ の3つに分割されます。

$△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の各辺を底辺と考えるとこれらの三角形はそれぞれ $\text{PQ, PR, PS}$ の長さを高さとし、(1)より $\text{PQ}=x$ とおくと $\text{PQ}=\text{PR}=\text{PS}=x$ となります。

△ PO_{1} O_{2}, △ PO_{2} O_{3}, △ PO_{3} O_{1}

$△\text{PO$_1$O$_2$},△\text{PO$_2$O$_3$},△\text{PO$_3$O$_1$}$ それぞれの面積の和が

△ O_{1} O_{2} O_{3}

$△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}$ の面積となるので、ここから

\begin{matrix} △ PO_{1} O_{2} + △ PO_{2} O_{3} + △ PO_{3} O_{1} & =△ O_{1} O_{2} O_{3} \frac{1}{2} \cdot 3 x + \frac{1}{2} \cdot 5 x + \frac{1}{2} \cdot 4 x & = 6 \frac{1}{2} (3 x + 5 x + 4 x) & = 6 6 x & = 6 x & = 1 \end{matrix}

$\begin{align*}△\text{PO$_1$O$_2$}+△\text{PO$_2$O$_3$}+△\text{PO$_3$O$_1$}&=△\text{O$_1$O$_2$O$_3$}\\[0.5em]\frac{1}{2}\cdot3x+\frac{1}{2}\cdot5x+\frac{1}{2}\cdot4x&=6\\[0.5em]\frac{1}{2}(3x+5x+4x)&=6\\[0.5em]6x&=6\\[0.5em]x&=1\end{align*}$

となり、

$\text{PQ}$ の長さは

$1$ であるとわかります。