二重、三重になっている根号はどうやって1つにする？

$$\begin{equation}\large \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\end{equation}$$

　上のように根号で入れ子になっている数は1つの根号だけを使って表すことができます。
どのように考えれば1つの根号で表すことができるのでしょうか？

　平方根や立方根などの根号がついた数は、2乗、3乗すると根号の中の数になる数ということです。
例えば$\sqrt{2}$は2乗して$2$になる数、$\sqrt[3]{5}$は3乗して$5$になる数ということです。
このことを踏まえると、(1)は何乗かして$2$になる数であることがうかがえます。
なので、(1)が$2$になるには何乗する必要があるのかを調べてみます。

　一番外側の平方根を外すには2乗する必要があります。
$$\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^2=\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}$$
次の立方根を外すには3乗する必要があります。
$$\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}\right)^3=\sqrt[4]{2}$$
最後の4乗根を外すには4乗する必要があります。
$$\left(\sqrt[4]{2}\right)^4=2$$
以上の一連の操作をまとめて書くと
$$\left[\left\{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^2\right\}^3\right]^4=2$$
のようになります。

ここで、指数の計算法則
$$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$$
より、
$$\begin{align*}\left[\left\{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^2\right\}^3\right]^4&=\left\{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^2\right\}^{3\times4}\\ \\ &=\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^{2\times3\times4}\\ \\ &=\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}\right)^{24}\\ \\ &=2\end{align*}$$
したがって、(1)は24乗して$2$になる数であるから
$$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\sqrt[24]{2}$$
となり、1つの根号で表すことができました。

　上のような方法の他に、根号を指数で書き表して考える方法もあります。

上で例に挙げた$\sqrt{2}$は2乗して$2$になる数というのは
$$\left(\sqrt{2}\right)^2=2$$
と表せるということです。
$\sqrt{2}=2^x$と書き表せると仮定すると
$$\left(2^x\right)^2=2$$

と表せるということになります。

左辺は指数の計算法則$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$より$2^{2x}$、右辺は指数を明らかにすると$2^1$と書けます。

底が揃っているべき乗の値が等しいとき指数も等しいため、指数を取り出して$x$について解くと

$$\begin{align*}2x&=1\\ \\ x&=\frac{1}{2}\end{align*}$$
となり、
$$\sqrt{2}=2^\frac{1}{2}$$
と表せることがわかります。

同様に立方根は
$$\sqrt[3]{5}=5^\frac{1}{3}$$
のように、n乗根は
$$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$$
のように表せます。

　このことから(1)は

$$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\left\{\left(2^\frac{1}{4}\right)^\frac{1}{3}\right\}^\frac{1}{2}$$

と書けることがわかります。

また、指数の計算法則$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$より
$$\begin{align*}\left\{\left(2^\frac{1}{4}\right)^\frac{1}{3}\right\}^\frac{1}{2}&=\left(2^\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^\frac{1}{24}\end{align*}$$
となるから、$2^\frac{1}{24}$を根号を使った表記に直せば
$$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=2^\frac{1}{24}=\sqrt[24]{2}$$
となります。

関連：指数の計算法則