「次の分数式を部分分数分解せよ。ただし、分解後の分数式の分子の次数は00になるようにすること。
(1)4x−92x2−x−154x−92x2−x−15
(2)−4x(x+3)2(3x+9)−4x(x+3)2(3x+9)
(3)x3−4x2−3x+2x2+4x−5x3−4x2−3x+2x2+4x−5」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
(1)4x−92x2−x−154x−92x2−x−15
一見部分分数分解できないように見えますが、分母が
2x2−x−15=(2x+5)(x−3)2x2−x−15=(2x+5)(x−3)
と因数分解できるので分解できます。
2x2−x−15=(2x+5)(x−3)2x2−x−15=(2x+5)(x−3)
と因数分解できるので分解できます。
このことから、部分分数分解したものは
両辺に(2x+5)(x−3)(2x+5)(x−3)を掛けて分母を払うと
4x−92x2−x−15=4x−9(2x+5)(x−3)=A2x+5+Bx−34x−92x2−x−15=4x−9(2x+5)(x−3)=A2x+5+Bx−3(I)
とおけます。両辺に(2x+5)(x−3)(2x+5)(x−3)を掛けて分母を払うと
4x−9=A(x−3)+B(2x+5)4x−9=A(x−3)+B(2x+5)
となり、これは恒等式となります。
A,BA,Bを係数比較法で求めます。
右辺を展開して整理すると
右辺を展開して整理すると
4x−9=Ax−3A+2Bx+5B=(A+2B)x+(−3A+5B)4x−9=Ax−3A+2Bx+5B=(A+2B)x+(−3A+5B)
両辺の係数を比較すると
{A+2B=4⋯(i)−3A+5B=−9⋯(ii)⎧⎨⎩A+2B=4⋯(i)−3A+5B=−9⋯(ii)
これを解くと、(i)(i)よりA=4−2B⋯(iii)A=4−2B⋯(iii)
これを(ii)(ii)に代入して
−3(4−2B)+5B=−9−12+11B=−9B=311−3(4−2B)+5B=−9−12+11B=−9B=311
(iii)(iii)より
A=4−2×311=3811A=4−2×311=3811
したがって、(I)(I)は
4x−92x2−x−15=38112x+5+311x−3=3811(2x+5)+311(x−3){=111(382x+5+3x−3)}4x−92x2−x−15=38112x+5+311x−3=3811(2x+5)+311(x−3){=111(382x+5+3x−3)}
となります。
(2)−4(x+3)2(3x+9)−4(x+3)2(3x+9)
部分分数分解をすると、一見
分母の因数が互いに素ではない場合なので、分解したものは
−4x(x+3)2(3x+9)=Ax+B(x+3)2+C3x+9−4x(x+3)2(3x+9)=Ax+B(x+3)2+C3x+9
とおけそうですが、分母をよく見ると3x+9=3(x+3)3x+9=3(x+3)なので
−4x(x+3)2(3x+9)=−4x3(x+3)3−4x(x+3)2(3x+9)=−4x3(x+3)3
と変形できます。分母の因数が互いに素ではない場合なので、分解したものは
−4x(x+3)2(3x+9)=Ax+3+B(x+3)2+C(x+3)3−4x(x+3)2(3x+9)=Ax+3+B(x+3)2+C(x+3)3(II)
とおけます。
両辺に(x+3)2(3x+9)=3(x+3)3(x+3)2(3x+9)=3(x+3)3を掛けて分母を払うと
(vi)(vi)より
−4x=3A(x+3)2+3B(x+3)+3C=3Ax2+18Ax+27A+3Bx+9B+3C=3Ax2+3(6A+B)x+3(9A+3B+C)−4x=3A(x+3)2+3B(x+3)+3C=3Ax2+18Ax+27A+3Bx+9B+3C=3Ax2+3(6A+B)x+3(9A+3B+C)
両辺の係数を比較すると
{3A=0⋯(iv)3(6A+B)=−4⋯(v)3(9A+3B+C)=0⋯(vi)⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩3A=0⋯(iv)3(6A+B)=−4⋯(v)3(9A+3B+C)=0⋯(vi)
これを解くと(iv)(iv)よりA=0A=0、これを(v)(v)に代入してB=−43B=−43となるから
(vi)(vi)より
9A+3B+C=09⋅0+3⋅(−43)+C=0C=49A+3B+C=09⋅0+3⋅(−43)+C=0C=4
したがって、(II)(II)は
−4x(x+3)2(3x+9)=0x+3+−43(x+3)2+4(x+3)3=−43(x+3)2+4(x+3)3−4x(x+3)2(3x+9)=0x+3+−43(x+3)2+4(x+3)3=−43(x+3)2+4(x+3)3
となります。
(3)x3−4x2−3x+2x2+4x−5x3−4x2−3x+2x2+4x−5
分母と分子それぞれの次数を比較すると、分子のほうが最高次数が大きくなっています。
x3−4x2−3x+2x2+4x−5=(x3−4x2−3x+2)÷(x2+4x−5)x3−4x2−3x+2x2+4x−5=(x3−4x2−3x+2)÷(x2+4x−5)
と書けるので、まずは整式の割り算をして分子の最高次数を下げます。
割り算の結果より
x3−4x2−3x+2=(x−8)(x2+4x−5)+34x−38x3−4x2−3x+2=(x−8)(x2+4x−5)+34x−38
と書けるので、両辺をx2+4x−5x2+4x−5で割ることで
x3−4x2−3x+2x2+4x−5=x−8+34x−38x2+4x−5x3−4x2−3x+2x2+4x−5=x−8+34x−38x2+4x−5
のように分子の最高次数を下げた形に変形することができます。
また、x2+4x−5=(x+5)(x−1)と因数分解できることから、34x−38x2+4x−5を部分分数分解したものは
34x−38x2+4x−5=Ax+5+Bx−1
とおけます。
両辺にx2+4x−5=(x+5)(x−1)を掛けて分母を払うと
34x−38=A(x−1)+B(x+5)=Ax−A+Bx+5B=(A+B)x+(−A+5B)
両辺の係数を比較すると
{A+B=34⋯(vii)−A+5B=−38⋯(viii)
これを解くと(vii)よりA=34−B⋯(ix)
これを(viii)に代入して
34−B+5B=−384B=−72B=−18
(ix)よりA=52
したがって、(III)は
34x−38x2+4x−5=52x+5+−18x−1=52x+5−18x−1
となるので、問の分数式を部分分数分解したものは
x3−4x2−3x+2x2+4x−5=x−8+52x+5−18x−1
となります。
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