分数式を部分分数分解する(2) ~ 数学について考えてみる

「次の分数式を部分分数分解せよ。ただし、分解後の分数式の分子の次数は

0

$0$ になるようにすること。

(1) $\large\dfrac{4x-9}{2x^2-x-15}$

(2) $\large-\dfrac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}$

(3)

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x - 5}

$\large\dfrac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}$ 」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1) $\tfrac{4x-9}{2x^2-x-15}$

　一見部分分数分解できないように見えますが、分母が

2 x^{2} - x - 15 = (2 x + 5) (x - 3)

$2x^2-x-15=(2x+5)(x-3)$
と因数分解できるので分解できます。

このことから、部分分数分解したものは

\begin{aligned} \frac{4 x - 9}{2 x^{2} - x - 15} & = \frac{4 x - 9}{(2 x + 5) (x - 3)} \\ (I) & = \frac{A}{2 x + 5} + \frac{B}{x - 3} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{4x-9}{2x^2-x-15}&=\frac{4x-9}{(2x+5)(x-3)}\\[0.5em]&=\frac{A}{2x+5}+\frac{B}{x-3}\tag{I}\end{align*}$

とおけます。
両辺に

(2 x + 5) (x - 3)

$(2x+5)(x-3)$ を掛けて分母を払うと

4 x - 9 = A (x - 3) + B (2 x + 5)

$4x-9=A(x-3)+B(2x+5)$

となり、これは恒等式となります。

A, B

$A,B$ を係数比較法で求めます。
右辺を展開して整理すると

\begin{aligned} 4 x - 9 & = A x - 3 A + 2 B x + 5 B \\ = (A + 2 B) x + (- 3 A + 5 B) \end{aligned}

$\begin{align*}4x-9&=Ax-3A+2Bx+5B\\[0.5em]&=(A+2B)x+(-3A+5B)\end{align*}$

両辺の係数を比較すると

{\begin{aligned} A + 2 B & = 4 & \dots (i) \\ - 3 A + 5 B & = - 9 & \dots (ii) \end{aligned}

$\left\{\begin{aligned}A+2B&=4&\cdots\text{(i)}\\[1em]-3A+5B&=-9&\cdots\text{(ii)}\end{aligned}\right.$

これを解くと、

(i)

$\text{(i)}$ より

A = 4 - 2 B \dots (iii)

$A=4-2B\quad\cdots\text{(iii)}$

これを

(ii)

$\text{(ii)}$ に代入して

\begin{aligned} - 3 (4 - 2 B) + 5 B & = - 9 \\ - 12 + 11 B & = - 9 \\ B & = \frac{3}{11} \end{aligned}

$\begin{align*}-3(4-2B)+5B&=-9\\[0.5em]-12+11B&=-9\\[0.5em]B&=\frac{3}{11}\end{align*}$

(iii)

$\text{(iii)}$ より

\begin{aligned} A & = 4 - 2 \times \frac{3}{11} \\ = \frac{38}{11} \end{aligned}

$\begin{align*}A&=4-2\times\frac{3}{11}\\[0.5em]&=\frac{38}{11}\end{align*}$

したがって、

(I)

$\text{(I)}$ は

\begin{aligned} \frac{4 x - 9}{2 x^{2} - x - 15} & = \frac{\frac{38}{11}}{2 x + 5} + \frac{\frac{3}{11}}{x - 3} \\ = \frac{38}{11 (2 x + 5)} + \frac{3}{11 (x - 3)} \\ {= \frac{1}{11} (\frac{38}{2 x + 5} + \frac{3}{x - 3})} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{4x-9}{2x^2-x-15}&=\cfrac{\cfrac{38}{11}}{2x+5}+\cfrac{\cfrac{3}{11}}{x-3}\\[0.5em]&=\frac{38}{11(2x+5)}+\frac{3}{11(x-3)}\\[0.5em]&\left\{=\frac{1}{11}\left(\frac{38}{2x+5}+\frac{3}{x-3}\right)\right\}\end{align*}$

となります。

(2) $-\tfrac{4}{(x+3)^2(3x+9)}$

　部分分数分解をすると、一見

- \frac{4 x}{(x + 3)^{2} (3 x + 9)} = \frac{A x + B}{(x + 3)^{2}} + \frac{C}{3 x + 9}

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{3x+9}$

とおけそうですが、分母をよく見ると

3 x + 9 = 3 (x + 3)

$3x+9=3(x+3)$ なので

- \frac{4 x}{(x + 3)^{2} (3 x + 9)} = - \frac{4 x}{3 (x + 3)^{3}}

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=-\frac{4x}{3(x+3)^3}$

と変形できます。
分母の因数が互いに素ではない場合なので、分解したものは

\begin{matrix} (II) & - \frac{4 x}{(x + 3)^{2} (3 x + 9)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{(x + 3)^{2}} + \frac{C}{(x + 3)^{3}} \end{matrix}

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^2}+\frac{C}{(x+3)^3}\tag{II}$

とおけます。

両辺に

(x + 3)^{2} (3 x + 9) = 3 (x + 3)^{3}

$(x+3)^2(3x+9)=3(x+3)^3$ を掛けて分母を払うと

\begin{aligned} - 4 x & = 3 A (x + 3)^{2} + 3 B (x + 3) + 3 C \\ = 3 A x^{2} + 18 A x + 27 A + 3 B x + 9 B + 3 C \\ = 3 A x^{2} + 3 (6 A + B) x + 3 (9 A + 3 B + C) \end{aligned}

$\begin{align*}-4x&=3A(x+3)^2+3B(x+3)+3C\\[0.5em]&=3Ax^2+18Ax+27A+3Bx+9B+3C\\[0.5em]&=3Ax^2+3(6A+B)x+3(9A+3B+C)\end{align*}$

両辺の係数を比較すると

{\begin{aligned} 3 A & = 0 & \dots (iv) \\ 3 (6 A + B) & = - 4 & \dots (v) \\ 3 (9 A + 3 B + C) & = 0 & \dots (vi) \end{aligned}

$\left\{\begin{aligned}3A&=0&\cdots\text{(iv)}\\[1em]3(6A+B)&=-4&\cdots\text{(v)}\\[1em]3(9A+3B+C)&=0&\cdots\text{(vi)}\end{aligned}\right.$

これを解くと

(iv)

$\text{(iv)}$ より

A = 0

$A=0$ 、これを

(v)

$\text{(v)}$ に代入して

B = - \frac{4}{3}

$B=-\dfrac{4}{3}$ となるから

(vi)

$\text{(vi)}$ より

\begin{aligned} 9 A + 3 B + C & = 0 \\ 9 \cdot 0 + 3 \cdot (- \frac{4}{3}) + C & = 0 \\ C & = 4 \end{aligned}

$\begin{align*}9A+3B+C&=0\\[0.5em]9\cdot0+3\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+C&=0\\[0.5em]C&=4\end{align*}$

したがって、

(II)

$\text{(II)}$ は

\begin{aligned} - \frac{4 x}{(x + 3)^{2} (3 x + 9)} & = \frac{0}{x + 3} + \frac{- \frac{4}{3}}{(x + 3)^{2}} + \frac{4}{(x + 3)^{3}} \\ = - \frac{4}{3 (x + 3)^{2}} + \frac{4}{(x + 3)^{3}} \end{aligned}

$\begin{align*}-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}&=\frac{0}{x+3}+\cfrac{-\cfrac{4}{3}}{(x+3)^2}+\frac{4}{(x+3)^3}\\[0.5em]&=-\frac{4}{3(x+3)^2}+\frac{4}{(x+3)^3}\end{align*}$

となります。

(3) $\tfrac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}$

　分母と分子それぞれの次数を比較すると、分子のほうが最高次数が大きくなっています。

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x - 5} = (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2) \div (x^{2} + 4 x - 5)

$\frac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}=(x^3-4x^2-3x+2)÷(x^2+4x-5)$

と書けるので、まずは整式の割り算をして分子の最高次数を下げます。

割り算の結果より

x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2 = (x - 8) (x^{2} + 4 x - 5) + 34 x - 38

$x^3-4x^2-3x+2=(x-8)(x^2+4x-5)+34x-38$

と書けるので、両辺を

x^{2} + 4 x - 5

$x^2+4x-5$ で割ることで

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x - 5} = x - 8 + \frac{34 x - 38}{x^{2} + 4 x - 5}

$\frac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}=x-8+\frac{34x-38}{x^2+4x-5}$

のように分子の最高次数を下げた形に変形することができます。

また、

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)

$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$ と因数分解できることから、

\frac{34 x - 38}{x^{2} + 4 x - 5}

$\dfrac{34x-38}{x^2+4x-5}$ を部分分数分解したものは

\begin{matrix} (III) & \frac{34 x - 38}{x^{2} + 4 x - 5} = \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{x - 1} \end{matrix}

$\frac{34x-38}{x^2+4x-5}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-1}\tag{III}$

とおけます。

両辺に

x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)

$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$ を掛けて分母を払うと

\begin{aligned} 34 x - 38 & = A (x - 1) + B (x + 5) \\ = A x - A + B x + 5 B \\ = (A + B) x + (- A + 5 B) \end{aligned}

$\begin{align*}34x-38&=A(x-1)+B(x+5)\\[0.5em]&=Ax-A+Bx+5B\\[0.5em]&=(A+B)x+(-A+5B)\end{align*}$

両辺の係数を比較すると

{\begin{aligned} A + B & = 34 & \dots (vii) \\ - A + 5 B & = - 38 & \dots (viii) \end{aligned}

$\left\{\begin{aligned}A+B&=34&\cdots\text{(vii)}\\[1em]-A+5B&=-38&\cdots\text{(viii)}\end{aligned}\right.$

これを解くと

(vii)

$\text{(vii)}$ より

A = 34 - B \dots (ix)

$A=34-B\quad\cdots\text{(ix)}$

これを

(viii)

$\text{(viii)}$ に代入して

\begin{aligned} 34 - B + 5 B & = - 38 \\ 4 B & = - 72 \\ B & = - 18 \end{aligned}

$\begin{align*}34-B+5B&=-38\\[0.5em]4B&=-72\\[0.5em]B&=-18\end{align*}$

(ix)

$\text{(ix)}$ より

A = 52

$A=52$

したがって、

(III)

$\text{(III)}$ は

\begin{aligned} \frac{34 x - 38}{x^{2} + 4 x - 5} & = \frac{52}{x + 5} + \frac{- 18}{x - 1} \\ = \frac{52}{x + 5} - \frac{18}{x - 1} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{34x-38}{x^2+4x-5}&=\frac{52}{x+5}+\frac{-18}{x-1}\\[0.5em]&=\frac{52}{x+5}-\frac{18}{x-1}\end{align*}$

となるので、問の分数式を部分分数分解したものは

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x - 5} = x - 8 + \frac{52}{x + 5} - \frac{18}{x - 1}

$\frac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}=x-8+\frac{52}{x+5}-\frac{18}{x-1}$

となります。

数学について考えてみる

2022年12月15日