分数式を部分分数分解する(2) ~ 数学について考えてみる

「次の分数式を部分分数分解せよ。ただし、分解後の分数式の分子の次数は

$0$ になるようにすること。

(1) $\large\dfrac{4x-9}{2x^2-x-15}$

(2) $\large-\dfrac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}$

(3)

$\large\dfrac{x^3-4x^2-3x+2}{x^2+4x-5}$ 」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1) $\tfrac{4x-9}{2x^2-x-15}$

　一見部分分数分解できないように見えますが、分母が

$2x^2-x-15=(2x+5)(x-3)$
と因数分解できるので分解できます。

このことから、部分分数分解したものは

$\begin{align*}\frac{4x-9}{2x^2-x-15}&=\frac{4x-9}{(2x+5)(x-3)}\\[0.5em]&=\frac{A}{2x+5}+\frac{B}{x-3}\tag{I}\end{align*}$

とおけます。
両辺に

$(2x+5)(x-3)$ を掛けて分母を払うと

$4x-9=A(x-3)+B(2x+5)$

となり、これは恒等式となります。

$A,B$ を係数比較法で求めます。
右辺を展開して整理すると

$\begin{align*}4x-9&=Ax-3A+2Bx+5B\\[0.5em]&=(A+2B)x+(-3A+5B)\end{align*}$

両辺の係数を比較すると

$\left\{\begin{aligned}A+2B&=4&\cdots\text{(i)}\\[1em]-3A+5B&=-9&\cdots\text{(ii)}\end{aligned}\right.$

これを解くと、

$\text{(i)}$ より

$A=4-2B\quad\cdots\text{(iii)}$

これを

$\text{(ii)}$ に代入して

$\begin{align*}-3(4-2B)+5B&=-9\\[0.5em]-12+11B&=-9\\[0.5em]B&=\frac{3}{11}\end{align*}$

$\text{(iii)}$ より

$\begin{align*}A&=4-2\times\frac{3}{11}\\[0.5em]&=\frac{38}{11}\end{align*}$

したがって、

$\text{(I)}$ は

$\begin{align*}\frac{4x-9}{2x^2-x-15}&=\cfrac{\cfrac{38}{11}}{2x+5}+\cfrac{\cfrac{3}{11}}{x-3}\\[0.5em]&=\frac{38}{11(2x+5)}+\frac{3}{11(x-3)}\\[0.5em]&\left\{=\frac{1}{11}\left(\frac{38}{2x+5}+\frac{3}{x-3}\right)\right\}\end{align*}$

となります。

(2) $-\tfrac{4}{(x+3)^2(3x+9)}$

　部分分数分解をすると、一見

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{3x+9}$

とおけそうですが、分母をよく見ると

$3x+9=3(x+3)$ なので

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=-\frac{4x}{3(x+3)^3}$

と変形できます。
分母の因数が互いに素ではない場合なので、分解したものは

$-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^2}+\frac{C}{(x+3)^3}\tag{II}$

とおけます。

両辺に

$(x+3)^2(3x+9)=3(x+3)^3$ を掛けて分母を払うと

$\begin{align*}-4x&=3A(x+3)^2+3B(x+3)+3C\\[0.5em]&=3Ax^2+18Ax+27A+3Bx+9B+3C\\[0.5em]&=3Ax^2+3(6A+B)x+3(9A+3B+C)\end{align*}$

両辺の係数を比較すると

$\left\{\begin{aligned}3A&=0&\cdots\text{(iv)}\\[1em]3(6A+B)&=-4&\cdots\text{(v)}\\[1em]3(9A+3B+C)&=0&\cdots\text{(vi)}\end{aligned}\right.$

これを解くと

$\text{(iv)}$ より

$A=0$ 、これを

$\text{(v)}$ に代入して

$B=-\dfrac{4}{3}$ となるから

$\text{(vi)}$ より

$\begin{align*}9A+3B+C&=0\\[0.5em]9\cdot0+3\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+C&=0\\[0.5em]C&=4\end{align*}$

したがって、

$\text{(II)}$ は

$\begin{align*}-\frac{4x}{(x+3)^2(3x+9)}&=\frac{0}{x+3}+\cfrac{-\cfrac{4}{3}}{(x+3)^2}+\frac{4}{(x+3)^3}\\[0.5em]&=-\frac{4}{3(x+3)^2}+\frac{4}{(x+3)^3}\end{align*}$

となります。