$10$のべき乗の計算は、べき乗の定義と指数の計算法則に従って行います。
本記事では主に$10$の整数乗の計算について扱います。
$10$の整数乗とは？
したがって、$10^1$は$10$を、$10^2$は$100$を、…というように、$10^n$は$1$の後の桁に$0$が$n$個並ぶ数を表します。
整数乗の定義より、$10^0$は$1$を表します。
また、$10^{-n}$は$10^n$の逆数、すなわち$\dfrac{1}{10^n}$を表し、小数に直せば一の位から$1$の桁まで$0$が$n$個並ぶ数を表します。
また、$10^{-n}$は$10^n$の逆数、すなわち$\dfrac{1}{10^n}$を表し、小数に直せば一の位から$1$の桁まで$0$が$n$個並ぶ数を表します。
指数の加減
\begin{gather*}\large10^a\times10^b=10^{a+b}\\[1em]\large10^a\div10^b=10^{a-b}\end{gather*}
指数の計算法則により$10$の整数乗同士の掛け算・割り算は指数の足し算・引き算になります。
例：
\begin{align*}10^6\times10^3&=10^{6+3}\\[0.5em]&=10^9\\[1em]0.01\times100000&=10^{-2}\times10^5\\[0.5em]&=10^{-2+5}\\[0.5em]&=10^3\\[1em]\frac{10^9}{10^{16}}&=10^{9-16}\\[0.5em]&=10^{-7}\\[1em]\frac{10^8}{100}&=\frac{10^8}{10^2}\\[0.5em]&=10^{8-2}\\[0.5em]&=10^{6}\end{align*}
この指数法則より、$10$の整数乗を$10$のべき乗の積に分解することができます。
\begin{align*}10^n&=10^{m+(n-m)}\\[0.5em]&=10^m\times10^{n-m}\end{align*}
例：
\begin{align*}n=5,m=3\\
10^5&=10^{3+(5-3)}\\[0.5em]&=10^3\times10^{5-3}\\[0.5em]&=10^3\times10^2\\[1em]n=5,
m=8\\
10^5&=10^8\times10^{5-8}\\[0.5em]&=10^8\times10^{5-8}\\[0.5em]&=10^8\times10^{-3}\\[0.5em]&=\frac{10^8}{10^3}\\[1em]n=8,m=-3\\
10^8&=10^{-3+\bigl\{8-(-3)\bigr\}}\\[0.5em]&=10^{-3}\times10^{8-(-3)}\\[0.5em]&=10^{-3}\times10^{11}\\[0.5em]&=\frac{10^{11}}{10^3}\end{align*}
こういった変形は$10$の整数乗を含む項同士の和・差を求めるときに利用されます。
例：
\begin{align*}1.2\times10^4+8.2\times10^3&=1.2\times10^4+8.2\times10^{-1}\times10^4\\[0.5em]&=1.2\times10^4+0.82\times10^4\\[0.5em]&=(1.2+0.82)\times10^4\\[0.5em]&=2.02\times10^4\end{align*}
指数の乗除
\begin{align*}\large\left(10^a\right)^b&\large=10^{ab}\\[1em]\large\sqrt[a]{10^b}&=\large10^\frac{b}{a}\end{align*}
指数の計算法則により$10$の累乗の累乗は指数の掛け算、$10$の累乗の累乗根は指数の割り算となります。
累乗するものが2つの数の積のときは
指数の割り算を行わないときは根号の計算を利用して計算します。
\[(ab)^n=a^nb^n\]
を利用します。指数の割り算を行わないときは根号の計算を利用して計算します。
\begin{align*}\sqrt[n]{ab}&=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\\[0.5em]\sqrt[n]{a^n}&=a\\
ただし、nが偶数のときは\\ \sqrt[n]{a^n}&=|a|\end{align*}
例：
\begin{align*}(10^{-2})^2&=10^{-2\times2}\\[0.5em]&=10^{-4}\\[1.5em](2\times10^2)^6&=2^6\times10^{2\times6}\\[0.5em]&=64\times10^{12}\\[1em]\sqrt[3]{10^5}&=\sqrt[3]{10^3\times10^2}\\[0.5em]&=\sqrt[3]{10^3}\times\sqrt[3]{10^2}\\[0.5em]&=10\sqrt[3]{10^2}\\[1em]\sqrt{1.2\times10^3}&=\sqrt{12\times10^2}\\[0.5em]&=\sqrt{12}\times\sqrt{10^2}\\[0.5em]&=\sqrt{4\times3}\times|10|\\[0.5em]&=\sqrt{4}\times\sqrt{3}\times10\\[0.5em]&=2\times\sqrt{3}\times10\\[0.5em]&=20\sqrt{3}\\[1em]\left(\sqrt[3]{10}\right)^5&=\left(10^\frac{1}{3}\right)^5\\[0.5em]&=10^\frac{5}{3}\\[0.5em]&=10^{1+\frac{2}{3}}\\[0.5em]&=10\times10^\frac{2}{3}\\[0.5em]&=10\sqrt[3]{10^2}\end{align*}
(2026/6)内容を変更しました。
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