べき乗、特にaの正の整数乗というのは、1にaを指数の回数分掛けることを意味します。
a^m\times a^n=a^{m+n}
となります。
関連:指数の計算法則
では、指数が減る場合を考えてみます。
また、先ほどの指数の計算法則に照らし合わせればn=-1のとき、すなわちa^{-1}を掛けた場合であると考えることができます。ここで、aの負の数乗が登場します。
aの逆数を掛けても、a^{-1}を掛けても指数が1だけ減ると考えることができる、すなわち
\begin{align*}a^{m-1}=a^m\times\frac{1}{a}&=a^m\times a^{-1}\\ \\ \frac{1}{a}&=a^{-1}\end{align*}
であるから、a^{-1}はaの逆数\dfrac{1}{a}に等しいことがわかります。
同様に指数がnだけ減る場合を考えればa^nの逆数はa^{-n}であるということができます。これによって、aの負の数乗がどんな数かがわかるようになりました。
a^nの逆数はa^{-n}であること、互いに逆数の関係にある2数の積は1になることと上の指数の計算法則から、
\begin{align*}a^n\times a^{-n}&=a^n\times\frac{1}{a^n}\\ \\ a^{n-n}&=1\\ \\ a^0&=1\end{align*}
となり、0乗は1になることが導けます。
関連:指数の計算法則
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