$0$以外の任意の実数の$0$乗は$1$になります。
これはなぜなのでしょうか？
\[\large a^n=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}^{n 個}\]
まず累乗の定義より、任意の実数$a$と自然数$n$をもちいた累乗$a^n$は、$a$を$n$個掛け合わせることを意味します。
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ただし、分母は$0$にすることができないため、このような視点で考えることができるのは底の実数$a$が$0$でない場合に限ります。
$0$でない任意の実数$a$、すなわち$a^1$の指数が$1$だけ減って$a^0$となると、どのような値となるでしょうか？
指数が$1$だけ減るたびに$\dfrac{1}{a}$倍されるということは、$a^0$は$a^1$を$\dfrac{1}{a}$倍したものということなので、
指数が$1$だけ減るたびに$\dfrac{1}{a}$倍されるということは、$a^0$は$a^1$を$\dfrac{1}{a}$倍したものということなので、
\begin{align*}a^0&=\frac{a^1}{a}\\[0.5em]&=\frac{a}{a}\\[0.5em]&=\mathbf{1}\end{align*}
となります。
したがって、$0$以外の任意の実数の$0$乗は$1$になることがわかります。
さらに、$a^0$の指数が$n$だけ減って$a^{-n}$となると、どのような値となるでしょうか？
指数が$1$だけ減るたびに$\dfrac{1}{a}$倍されるということは、$a^{-n}$は$a^0$を$n$回$\dfrac{1}{a}$倍したものなので、
指数が$1$だけ減るたびに$\dfrac{1}{a}$倍されるということは、$a^{-n}$は$a^0$を$n$回$\dfrac{1}{a}$倍したものなので、
\begin{align*}a^{-n}&=a^0\times\overbrace{\frac{1}{a}\times\frac{1}{a}\cdots\times\frac{1}{a}\times\frac{1}{a}}^{n個}\\[0.5em]&=a^0\times\frac{1}{\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a\times
a}_{n個}}\\[0.5em]&=a^0\times\frac{1}{a^n}\\[0.5em]&=1\times\frac{1}{a^n}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{1}{a^n}}\end{align*}
となります。
したがって、負の整数乗$a^{-n}$は累乗$a^n$の逆数であることがわかります。
このように考えて整数乗は定義されています。
(2026/6)内容を変更しました。
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