0乗はなぜ1になる？

　0乗はなぜ$1$になるのでしょうか？

この理由をべき乗がどういうものであったかを振り返りながら考えてみます。

　べき乗、特に$a$の正の整数乗というのは、$1$に$a$を指数の回数分掛けることを意味します。

このことから、$a$のべき乗は指数が$1$増えるたびに$a$倍されていくことになります。

これを一般化すると指数の計算法則

\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]

となります。

関連：指数の計算法則

　では、指数が減る場合を考えてみます。

$a$のべき乗の指数が$1$だけ減ると掛けられている$a$が1つなくなります。これは$a$の逆数である$\dfrac{1}{a}$を掛けた、と考えることができます。

また、先ほどの指数の計算法則に照らし合わせれば$n=-1$のとき、すなわち$a^{-1}$を掛けた場合であると考えることができます。ここで、$a$の負の数乗が登場します。

$a$の逆数を掛けても、$a^{-1}$を掛けても指数が$1$だけ減ると考えることができる、すなわち

\begin{align*}a^{m-1}=a^m\times\frac{1}{a}&=a^m\times a^{-1}\\ \\ \frac{1}{a}&=a^{-1}\end{align*}

であるから、$a^{-1}$は$a$の逆数$\dfrac{1}{a}$に等しいことがわかります。

同様に指数が$n$だけ減る場合を考えれば$a^n$の逆数は$a^{-n}$であるということができます。これによって、$a$の負の数乗がどんな数かがわかるようになりました。

　$a^n$の逆数は$a^{-n}$であること、互いに逆数の関係にある2数の積は$1$になることと上の指数の計算法則から、

\begin{align*}a^n\times a^{-n}&=a^n\times\frac{1}{a^n}\\ \\ a^{n-n}&=1\\ \\ a^0&=1\end{align*}

となり、0乗は$1$になることが導けます。

関連：指数の計算法則