交わる2直線間を等しい長さの線分で分割したときの角度 ~ 数学について考えてみる

2022年12月4日

PLUMBAGO

「上図の(1)、(2)で示した角度$x,y$の大きさを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1)

　まずは上図のようにアルファベットを振ります。

$△ABC$において$BA=BC$である二等辺三角形なので$∠BAC=∠BCA=x$となります。

また、外角の定理より

\[∠CBD=∠BAC+∠BCA=2x\]

となることがわかります。

次は$△BCD$において$CB=CD$である二等辺三角形なので$∠CBD=∠CDB=2x$となります。

$BC$の延長線$CG$を引くと、外角の定理より

\[∠DCG=∠CBD+∠CDB=4x\]

となります。

また、対頂角より$∠BCA=∠GCE=x$であるから

\[∠DCE=∠DCG-∠GCE=3x\]

となることがわかります。

$△CDE$においても$△BCD$と同様にして$∠EDF=4x$となることがわかります。

$△DEF$において$ED=EF$である二等辺三角形なので、$∠EDF=∠EFD=4x$となります。
また、$△AEF$は$AE=AF$である二等辺三角形なので、$∠EFD=∠AEF=4x$となります。

三角形の内角の和は$180°$であるから

\begin{align*}∠BAC+∠EFD+∠AEF&=180°\\[0.5em]x+4x+4x&=180°\\[0.5em]9x&=180°\\[0.5em]x&=20°\end{align*}

（※$∠BAC$は上図の$∠DAE$のこと）であるとわかります。

　上図のようにアルファベットを振り、$∠BAC=a$とおいて(1)と同様に角度を求めていくと、

\[y=4a-a=3a\tag{*}\]

となることがわかります。

また、$△ADE$において$DA=DE$である二等辺三角形なので、$∠DAE=∠DEA=a$となり、外角の定理より

\begin{align*}∠EDF&=∠DAE+∠DEA\\[0.5em]&=2a=62°\end{align*}

となります。

このことから$a=31°$であることがわかるため、$(*)$に代入して

\[y=3\times31°=93°\]

と求められます。