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2022年12月4日

交わる2直線間を等しい長さの線分で分割したときの角度

二等辺三角形だらけの図形の角度
「上図の(1)、(2)で示した角度x, yの大きさを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


(1)

外角の定理の利用
 まずは上図のようにアルファベットを振ります。
△\text{ABC}において\text{BA}=\text{BC}である二等辺三角形なので∠\text{BAC}=∠\text{BCA}=xとなります。
また、外角の定理より
∠\text{CBD}=∠\text{BAC}+∠\text{BCA}=2x
となることがわかります。

外角の定理と対頂角の利用
次は△\text{BCD}において\text{CB}=\text{CD}である二等辺三角形なので∠\text{CBD}=∠\text{CDB}=2xとなります。
\text{BC}の延長線\text{CG}を引くと、外角の定理より
∠\text{DCG}=∠\text{CBD}+∠\text{CDB}=4x
となります。
また、対頂角より∠\text{BCA}=∠\text{GCE}=xであるから
∠\text{DCE}=∠\text{DCG-}∠\text{GCE}=3x
となることがわかります。

外角の定理と対頂角の利用
△\text{CDE}においても△\text{BCD}と同様にして∠\text{EDF}=4xとなることがわかります。

二等辺三角形の性質の利用
△\text{DEF}において\text{ED}=\text{EF}である二等辺三角形なので、∠\text{EDF}=∠\text{EFD}=4xとなります。
また、△\text{AEF}\text{AE}=\text{AF}である二等辺三角形なので、∠\text{EFD}=∠\text{AEF}=4xとなります。
三角形の内角の和は180°であるから
\begin{align*}∠\text{BAC}+∠\text{EFD}+∠\text{AEF}&=180°\\[0.5em]x+4x+4x&=180°\\[0.5em]9x&=180°\\[0.5em]x&=20°\end{align*}
(※∠\text{BAC}は上図の∠\text{DAE}のこと)であるとわかります。

(2)

外角の定理と対頂角の利用
 上図のようにアルファベットを振り、∠\text{BAC}=aとおいて(1)と同様に角度を求めていくと、
y=4a-a=3a\tag{*}
となることがわかります。

二等辺三角形の性質の利用
また、△\text{ADE}において\text{DA}=\text{DE}である二等辺三角形なので、∠\text{DAE}=∠\text{DEA}=aとなり、外角の定理より
\begin{align*}∠\text{EDF}&=∠\text{DAE}+∠\text{DEA}\\[0.5em]&=2a=62°\end{align*}
となります。
このことからa=31°であることがわかるため、(*)に代入して
y=3\times31°=93°
と求められます。

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