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2022年12月4日

交わる2直線間を等しい長さの線分で分割したときの角度

二等辺三角形だらけの図形の角度
「上図の(1)、(2)で示した角度x,yの大きさを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


(1)

外角の定理の利用
 まずは上図のようにアルファベットを振ります。
ABCにおいてBA=BCである二等辺三角形なのでBAC=BCA=xとなります。
また、外角の定理より
CBD=BAC+BCA=2x
となることがわかります。

外角の定理と対頂角の利用
次はBCDにおいてCB=CDである二等辺三角形なのでCBD=CDB=2xとなります。
BCの延長線CGを引くと、外角の定理より
DCG=CBD+CDB=4x
となります。
また、対頂角よりBCA=GCE=xであるから
DCE=DCG-GCE=3x
となることがわかります。

外角の定理と対頂角の利用
CDEにおいてもBCDと同様にしてEDF=4xとなることがわかります。

二等辺三角形の性質の利用
DEFにおいてED=EFである二等辺三角形なので、EDF=EFD=4xとなります。
また、AEFAE=AFである二等辺三角形なので、EFD=AEF=4xとなります。
三角形の内角の和は180°であるから
BAC+EFD+AEF=180°x+4x+4x=180°9x=180°x=20°
(※BACは上図のDAEのこと)であるとわかります。

(2)

外角の定理と対頂角の利用
 上図のようにアルファベットを振り、BAC=aとおいて(1)と同様に角度を求めていくと、
(*)y=4aa=3a
となることがわかります。

二等辺三角形の性質の利用
また、ADEにおいてDA=DEである二等辺三角形なので、DAE=DEA=aとなり、外角の定理より
EDF=DAE+DEA=2a=62°
となります。
このことからa=31°であることがわかるため、()に代入して
y=3×31°=93°
と求められます。

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