四角形が以下の5つの中のいずれか1つの性質をもつとき、その四角形は平行四辺形となります。
- 2組の対辺がそれぞれ平行
- 2組の対辺の長さがそれぞれ等しい
- 2組の対角の大きさがそれぞれ等しい
- 1組の対辺が平行かつ長さが等しい
- 対角線が互いの中点で交わる
上記のいずれかの性質をもつ四角形が本当に平行四辺形となるかを確かめてみます。
1. 2組の対辺がそれぞれ平行
したがって、この性質をもつ四角形は平行四辺形となります。
2. 2組の対辺の長さがそれぞれ等しい
△ABCと△CDAに着目すると
このことから∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CADです。
- 仮定よりAB=CD
- 同様に仮定よりBC=DA
- 共通の辺なのでAC=CA
このことから∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CADです。
2直線AB,CDにおいて∠BAC,∠DCAは錯角なので、∠BAC=∠DCAよりAB//CDであることがわかります。
同様に、2直線AD,BCにおいて∠ACB,∠CADは錯角なので、∠ACB=∠CADよりAD//BCであることがわかります。
したがって、四角形ABCDは2組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形となります。
すなわち、2組の対辺の長さがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形となります。
3. 2組の対角の大きさがそれぞれ等しい
∠A=∠C,∠B=∠Dである四角形ABCDを考えます。
四角形の内角の和が360°であることより
\begin{equation}\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°\end{equation}
が成り立ち、仮定より∠B=∠D,∠C=∠Aなので
\begin{align*}\angle A+\angle D+\angle A+\angle
D&=360°\\[0.5em]2\angle A+2\angle D&=360°\\[0.5em]2(\angle
A+\angle D)&=360°\\[0.5em]\angle A+\angle
D&=180°\tag2\end{align*}
となります。
(2),(3)より∠A=∠ADEです。
2直線AB,CDにおいて∠A,∠ADEは錯角なので、AB//CDであることがわかります。
(2)を導いたのと同様にして、(1)と仮定∠C=∠A,∠D=∠Bより
\angle A+\angle B=180°\tag4
となります。
(4),(5)より∠A=∠ABFです。
2直線AD,BCにおいて∠A,∠ABFは錯角なので、AD//BCであることがわかります。
以上より、四角形ABCDは2組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形となります。
すなわち、2組の対角の大きさがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形となります。
4. 1組の対辺が平行かつ長さが等しい
「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」というのは、平行四辺形の性質「2組の対辺がそれぞれ等しく、かつそれぞれ長さが等しい」を弱めたものです。
この性質をもつ四角形が平行四辺形となるのかを確かめてみます。
この性質をもつ四角形が平行四辺形となるのかを確かめてみます。
5. 対角線が互いの中点で交わる
△PABと△PCDに着目すると
このことから∠ABP=∠CDPです。
- 仮定よりPA=PB
- 同様に仮定よりPC=PD
- 対頂角は等しいので∠APB=∠CPD
このことから∠ABP=∠CDPです。
2直線AB,CDにおいて∠ABP,∠CDPは錯角なので、AB//CDであることがわかります。
今度は△PADと△PCBに着目すると
このことから∠ADP=∠CBPです。
- 仮定よりPA=PB
- 同様に仮定よりPD=PC
- 対頂角は等しいので∠APD=∠CPB
このことから∠ADP=∠CBPです。
2直線AD,BCにおいて∠ADP,∠CBPは錯角なので、AD//BCであることがわかります。
以上より、四角形ABCDは2組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形となります。
すなわち、対角線が互いの中点で交わる四角形は平行四辺形となります。
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