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2023年8月11日

交差する角の二等分線は直交する?

円に内接する四角形と対辺の延長のなす角の二等分線
「どの対辺も平行でない円に内接する四角形ABCDABCDの辺ABABCDCDをそれぞれ延長したときの交点をEE、辺BCBCADADをそれぞれ延長したときの交点をFFとする。
このとき、AEDAEDの二等分線とCFDCFDの二等分線は直交することを示せ。」

 2通りの方法でこの問題を解いてみます。
円に内接する四角形と対辺の延長がなす角の二等分線
2通りの方法では共通してAEDAEDの二等分線と辺AD, BCAD, BCとの交点をそれぞれG, HG, HCFDCFDの二等分線と辺CD, ABCD, ABとの交点をそれぞれI, JI, JAEDAEDの二等分線とCFDCFDの二等分線との交点をKKとします。

すると、この問題の最終的な目標はEHFJEHFJであることを確かめることとなります。


1つずつ角度を調べていく方法

 1つずつ角度を調べてAEDAEDの二等分線とCFDCFDの二等分線が直交することを確かめます。
円に内接する四角形の内角と外角を求める
A=α,B=βA=α,B=βとすると円に内接する四角形の性質よりC=180°α,D=180°βC=180°α,D=180°βとなります。また、DAE=180°α,ADE=β, DCF=α,CDF=βとなります。
∠AGKを求める
 AEDに着目すると、AED
AED=180°(EAD+EDA)=180°{(180°α)+β}=αβ
となります。
すると、DEG
DEG=AED2=αβ2
となり、DEGにおいてDGE
DGE=180°(DEG+EDG)=180°(αβ2+β)=180°α+β2
となります。
さらにDGEの対頂角であるAGK
AGK=180°α+β2
となります。

∠AJFを求める
 次にCFDに着目すると、CFD
CFD=180°(DCF+CDF)=180°(α+β)
となります。
すると、CFI
CFI=CFD2=90°α+β2
となり、CFIにおいてCIF
CIF=180°(CFI+FCI)=180°{(90°α+β2)+α}=90°(αα+β2)=90°αβ2
となります。
ここで、CFIAFJに着目すると、CFI=AFJ,FCI=FAJより2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
ゆえに
CIF=AJF=90°αβ2
となります。

四角形AJKGの3つの内角
 AJKGに着目して、(1),(2)より
GKJ=360°(A+AGK+AJK)=360°{α+(180°α+β2)+(90°αβ2)}=90°(αα+β2αβ2)=90°
となり、辺GK, JKはそれぞれ直線EH, FJの一部分なのでEHFJが成り立ちます。

したがって、AEDの二等分線とCFDの二等分線は直交することがわかりました。


二等辺三角形を見つける方法

外角の定理を利用して二等辺三角形を見つける
 DFIに着目すると、外角の定理より
EIJ=FDI+DFI
が成り立ちます。
また、BFJに着目すると、外角の定理より
EJI=FBJ+BFJ
が成り立ちます。
 ここで、円に内接する四角形の性質よりFDI=FBJ、二等分した角よりDFI=BFJであり、(3),(4)よりEIJ=EJIとなります。
このことからEIJは二等辺三角形であることがわかります。

すると、AEDの二等分線EHEIJにおいては頂角IEJの二等分線であるので、底辺IJに対し垂直です。

さらに、辺IJCFDの二等分線FJの一部分なので、EHFJが成り立ちます。

したがって、AEDの二等分線とCFDの二等分線は直交することがわかりました。


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