a<bのときa^2とb^2の大小関係はどうなる？ ~ 数学について考えてみる

2023年8月27日

a<bのときa^2とb^2の大小関係はどうなる？

PLUMBAGO

　定数 $a,b$ について $a<b$ のとき、 $a^2$ と $b^2$ の大小関係はどうなるでしょうか？

　5つの場合に分けて考えてみます。

1. $a>0$ のとき

0 < a < b

$0<a<b$ ということなので、

a, b

$a,b$ ともに正の数の場合です。

a < b

$a<b$ の両辺に

a

$a$ を掛けると

\begin{matrix} (1) & a^{2} < a b \end{matrix}

$\begin{equation}a^2<ab\end{equation}$

となります。
また、

a < b

$a<b$ の両辺に

b

$b$ を掛けると

\begin{matrix} (2) & a b < b^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}ab<b^2\end{equation}$

となります。

(1), (2)

$(1),(2)$ より

a^{2} < a b < b^{2}

$a^2<ab<b^2$ 、すなわち

a^{2} < b^{2}

$a^2<b^2$

であることがわかります。

2. $a=0$ のとき

0 = a < b

$0=a<b$ ということなので、

a

$a$ が

0

$0$ 、

b

$b$ は正の数の場合です。

a < b

$a<b$ の両辺に

a

$a$ を掛けると

\begin{matrix} (3) & a^{2} = a b = 0 \end{matrix}

$\begin{equation}a^2=ab=0\end{equation}$

となります。

a < b

$a<b$ の両辺に

b

$b$ を掛けると

\begin{matrix} (4) & (0 =) a b < b^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}(0=)ab<b^2\end{equation}$

となります。

(3), (4)

$(3),(4)$ より

(0 =) a^{2} = a b < b^{2}

$(0=)a^2=ab<b^2$ 、すなわち

a^{2} < b^{2}

$a^2<b^2$

であることがわかります。

　 $1.$ 、 $2.$ より $0\leqq a<b$ のとき $a^2<b^2$ が成り立ちます。

3. $a<0<b$ のとき

a

$a$ と

b

$b$ がそれぞれ負の数と正の数に別れている場合です。

この場合はさらに3つの場合分けが必要となります。

3-1. $|a|<|b|$ のとき

　数直線で表したとき上図のようになる場合です。
絶対値の性質より

0 < | a | < | b |

$0<|a|<|b|$ なので、1.の場合より

\begin{matrix} (5) & | a |^{2} < | b |^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}|a|^2<|b|^2\end{equation}$

が成り立ちます。

また、

| x |^{2} = x^{2}

$|x|^2=x^2$ より

(5)

$(5)$ は

a^{2} < b^{2}

$a^2<b^2$

となることがわかります。

3-2. $|a|=|b|$ のとき

　数直線で表したとき上図のようになる場合です。

このとき

| a | = | b |

$|a|=|b|$ の両辺を2乗して

\begin{matrix} (6) & | a |^{2} = | b |^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}|a|^2=|b|^2\end{equation}$

となります。

また、

| x |^{2} = x^{2}

$|x|^2=x^2$ より

(6)

$(6)$ は

a^{2} = b^{2}

$a^2=b^2$

となることがわかります。

3-3. $|a|>|b|$ のとき

　数直線で表したとき上図のようになる場合です。

0 < | b | < | a |

$0<|b|<|a|$ ということなので、1.の場合より

\begin{matrix} (7) & | b |^{2} < | a |^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}|b|^2<|a|^2\end{equation}$

が成り立ちます。

また、

| x |^{2} = x^{2}

$|x|^2=x^2$ より

(7)

$(7)$ は

a^{2} > b^{2}

$a^2>b^2$

となることがわかります。

　 $3.$ の場合、 $a^2$ と $b^2$ の大小関係を知るためには $a$ と $b$ それぞれの絶対値の大小関係を知らなければなりません。

4. $b=0$ のとき

a < b = 0

$a<b=0$ ということなので、

a

$a$ は負の数で

b

$b$ が

0

$0$ の場合です。

a < b

$a<b$ の両辺に

a

$a$ を掛けると

\begin{matrix} (8) & a^{2} > a b = 0 \end{matrix}

$\begin{equation}a^2>ab=0\end{equation}$

となります。

a < b

$a<b$ の両辺に

b

$b$ を掛けると

\begin{matrix} (9) & a b = b^{2} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation}ab=b^2=0\end{equation}$

となります。

(8), (9)

$(8),(9)$ より

a^{2} > a b = b^{2} (= 0)

$a^2>ab=b^2(=0)$ 、すなわち

a^{2} > b^{2}

$a^2>b^2$

であることがわかります。

5. $b<0$ のとき

a < b < 0

$a<b<0$ ということなので、

a, b

$a,b$ ともに負の数の場合です。

a < b

$a<b$ の両辺に

a

$a$ を掛けると

\begin{matrix} (10) & a^{2} > a b \end{matrix}

$\begin{equation}a^2>ab\end{equation}$

となります。

a < b

$a<b$ の両辺に

b

$b$ を掛けると

\begin{matrix} (11) & a b > b^{2} \end{matrix}

$\begin{equation}ab>b^2\end{equation}$

となります。

(10), (11)

$(10),(11)$ より

a^{2} > a b > b^{2}

$a^2>ab>b^2$ 、すなわち

a^{2} > b^{2}

$a^2>b^2$

であることがわかります。

　 $4.$ 、 $5.$ より $a<b\leqq0$ のとき $a^2>b^2$ が成り立ちます。
なお、 $(8),(10),(11)$ において不等号の向きが変わっているのは両辺に掛けたものが負の数であるためです。

a

$a$ と

b

$b$ の絶対値に着目すると

1.

$1.$ 、

2.

$2.$ 、

3 - 1.

$3-1.$ のとき、すなわち

| a | < | b |

$|a|<|b|$ のとき

a^{2} < b^{2}

$a^2<b^2$

3 - 2.

$3-2.$ のとき、すなわち

| a | = | b |

$|a|=|b|$ のとき

a^{2} = b^{2}

$a^2=b^2$

3 - 3.

$3-3.$ 、

4.

$4.$ 、

5.

$5.$ のとき、すなわち

| a | > | b |

$|a|>|b|$ のとき

a^{2} > b^{2}

$a^2>b^2$

が成り立っていることがわかります。

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2023年8月27日