円を3等分する平行線はどこに引く？

　円に平行な直線を2本引いて円の面積を3等分したいとき、2本の平行な直線はそれぞれどこに引けばよいでしょうか？

　直線$l$を円の中心$O$から$x$だけ離れた位置に引いた場合を考えます。

直線$l$が円$O$の面積を3等分する平行な2本の直線の1本であった場合、直線$l$と円$O$の2つの交点をそれぞれ$A,B$としたときの弓形$AB$の面積は円$O$の面積の$\dfrac{1}{3}$となります。

円は線対称な図形なので、もう1本の直線$m$を中心$O$から直線$l$とは逆方向に$x$だけ離れた位置に引くことで直線$m$と円$O$の2つの交点をそれぞれ$C,D$としたときの弓形$CD$の面積もまた、円$O$の面積の$\dfrac{1}{3}$となります。
あとは、円の中心$O$からの距離$x$が分かれば、円の面積を3等分できます。

　$x$を求めるために、まずは弓形$AB$の面積について考えます。

弓形$AB$の面積はおうぎ形$OAB$の面積から$△OAB$の面積を引いたものとなります。

円$O$の半径が$r$、弧$AB$に対する中心角が$θ\mathrm[rad]$のとき、おうぎ形$AB$の面積は$おうぎ形AB=\dfrac{θr^2}{2}$と表されます。

また、$△OAB$の面積は$△OAB=\dfrac{r^2\sinθ}{2}$となります。

したがって、弓形$AB$の面積は

\begin{align*}弓形AB&=\frac{\theta r^2}{2}-\frac{r^2\sinθ}{2}\\[0.5em]&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\end{align*}

となります。

ここで、円$O$の面積は$\pi r^2$なので、3等分してできる各図形の面積は$\dfrac{\pi r^2}{3}$となります。

以上より、方程式

\begin{equation}\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{\pi r^2}{3}\end{equation}

を満たす$θ$が弓形$AB$が円$O$の$\dfrac{1}{3}$の面積をもつときの弧$AB$に対する中心角となります。

変形して簡単な形にすると

\begin{equation}\theta-\sin\theta-\frac{2\pi}{3}=0\end{equation}

となりますが、この方程式を解いて$θ$の値を求めるのは大変なのでニュートン法により近似値を求めます。

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　ニュートン法で$θ$の近似値が分かれば、$x$の値も近似値として求められます。

$△OAB$は二等辺三角形なので、頂角$∠AOB$の二等分線は頂点$O$から底辺$AB$へおろした垂線となります。

垂線の足を$M$とすると、線分$OM$の長さは点$O$から直線$l$の距離に等しく$x$となります。

ここで、$△OAM$に着目すれば$OA=r,∠AOM=\dfrac{θ}{2}$であることと三角比より

\begin{equation}x=r\cos\frac{\theta}{2}\end{equation}

となり、これで$x$の値がわかります。

ちなみに、線分$AB$の長さは

\begin{align*}AB&=2AM\\[0.5em]AB&=2r\sin\frac{\theta}{2}\tag3\end{align*}

で求めることができます。

　では、ニュートン法で弧$AB$に対する中心角$θ$の近似値を求めてみましょう。

$f(θ)=θ-\sinθ-\dfrac{2\pi}{3}$を考えます。
ニュートン法で$f(θ)=0$を満たす$θ$の近似値を求めるには、$f'(θ)$と$θ_n$における接線のθ切片$θ_{n+1}$を表す式、$θ$に最初に代入する値$θ_0$が必要になります。

$f'(θ)$は

\[f'(\theta)=1-\cos\theta\]

$θ_{n+1}$を表す式は

\begin{align*}\theta_{n+1}&=\theta_n-\frac{f(\theta_n)}{f'(\theta_n)}\\[0.5em]&=\theta_n-\frac{\theta_n-\sin\theta_n}{1-\cos\theta_n}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta_n-\theta_n\cos\theta_n}{1-\cos\theta_n}\end{align*}

となります。
$θ_0$は、$f(θ)=0$を満たす$θ$付近の値をとれば良いので$θ_0=\dfrac{2\pi}{3}$とします。

これらを利用して表計算ソフトで計算します。

セルへの入力例は下図、

結果が以下の表です。

$f(θ)=0$を満たす$θ$の近似値は$θ_{n+1}$の収束値なので、$2.605325675$となります。これが弧$AB$に対する中心角です。

したがって、$(2)$より求めたい円の中心$O$から直線$l$までの距離$x$は

\begin{align*}x&=r\cos\frac{2.605325675}{2}\\[0.5em]&≒0.2649320846r\end{align*}

となります。
線分$AB$の長さも求めてみます。$(3)$より

\begin{align*}AB&=2r\sin\frac{2.605325675}{2}\\[0.5em]&≒1.928534149r\end{align*}

円$O$の半径が$r=1$のとき、円の面積を3等分する直線$l,m$の中心$O$との距離と線分$AB,CD$の長さは下図のようになります。

外部リンク：ニュートン法 - Wikipedia