円を3等分する平行線はどこに引く？ ~ 数学について考えてみる

　円に平行な直線を2本引いて円の面積を3等分したいとき、2本の平行な直線はそれぞれどこに引けばよいでしょうか？

　直線

l

$l$ を円の中心

O

$\text{O}$ から

x

$x$ だけ離れた位置に引いた場合を考えます。

直線

l

$l$ が円

O

$\text{O}$ の面積を3等分する平行な2本の直線の1本であった場合、直線

l

$l$ と円

O

$\text{O}$ の2つの交点をそれぞれ

A, B

$\text{A, B}$ としたときの弓形

AB

$\text{AB}$ の面積は円

O

$\text{O}$ の面積の

\frac{1}{3}

$\dfrac{1}{3}$ となります。

円は線対称な図形なので、もう1本の直線 $m$ を中心 $\text{O}$ から直線 $l$ とは逆方向に $x$ だけ離れた位置に引くことで直線 $m$ と円 $\text{O}$ の2つの交点をそれぞれ $\text{C, D}$ としたときの弓形 $\text{CD}$ の面積もまた、円 $\text{O}$ の面積の $\dfrac{1}{3}$ となります。
あとは、円の中心 $\text{O}$ からの距離 $x$ が分かれば、円の面積を3等分できます。

x

$x$ を求めるために、まずは弓形

AB

$\text{AB}$ の面積について考えます。

弓形

AB

$\text{AB}$ の面積はおうぎ形

OAB

$\text{OAB}$ の面積から

△ OAB

$△\text{OAB}$ の面積を引いたものとなります。

円

O

$\text{O}$ の半径が

r

$r$ 、弧

AB

$\text{AB}$ に対する中心角が

θ [r a d]

$θ\mathrm[rad]$ のとき、おうぎ形

AB

$\text{AB}$ の面積は

お う ぎ 形 AB = \frac{θ r^{2}}{2}

$おうぎ形\text{AB}=\dfrac{θr^2}{2}$ と表されます。
また、

△ OAB

$△\text{OAB}$ の面積は

△ OAB = \frac{r^{2} sin θ}{2}

$△\text{OAB}=\dfrac{r^2\sinθ}{2}$ となります。

したがって、弓形

AB

$\text{AB}$ の面積は

\begin{matrix} 弓 形 AB & = \frac{θ r^{2}}{2} - \frac{r^{2} sin θ}{2} = \frac{r^{2}}{2} (θ - sin θ) \end{matrix}

$\begin{align*}弓形\text{AB}&=\frac{\theta r^2}{2}-\frac{r^2\sinθ}{2}\\[0.5em]&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\end{align*}$

となります。

ここで、円 $\text{O}$ の面積は $\pi r^2$ なので、3等分してできる各図形の面積は $\dfrac{\pi r^2}{3}$ となります。

以上より、方程式

\begin{matrix} \frac{r^{2}}{2} (θ - sin θ) = \frac{π r^{2}}{3} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{\pi r^2}{3}\end{equation}$

を満たす

θ

$θ$ が弓形

AB

$\text{AB}$ が円

O

$\text{O}$ の

\frac{1}{3}

$\dfrac{1}{3}$ の面積をもつときの弧

AB

$\text{AB}$ に対する中心角となります。

変形して簡単な形にすると

\begin{matrix} θ - sin θ - \frac{2 π}{3} = 0 \\ (2) \end{matrix}

$\begin{equation}\theta-\sin\theta-\frac{2\pi}{3}=0\end{equation}$

となりますが、この方程式を解いて

θ

$θ$ の値を求めるのは大変なのでニュートン法により近似値を求めます。

　ニュートン法で

θ

$θ$ の近似値が分かれば、

x

$x$ の値も近似値として求められます。

△ OAB

$△\text{OAB}$ は二等辺三角形なので、頂角

∠ AOB

$∠\text{AOB}$ の二等分線は頂点

O

$\text{O}$ から底辺

AB

$\text{AB}$ へおろした垂線となります。

垂線の足を

M

$\text{M}$ とすると、線分

OM

$\text{OM}$ の長さは点

O

$\text{O}$ から直線

l

$l$ の距離に等しく

x

$x$ となります。

ここで、

△ OAM

$△\text{OAM}$ に着目すれば

OA = r, ∠ AOM = \frac{θ}{2}

$\text{OA}=r,∠\text{AOM}=\dfrac{θ}{2}$ であることと三角比より

\begin{matrix} x = r cos \frac{θ}{2} \\ (3) \end{matrix}

$\begin{equation}x=r\cos\frac{\theta}{2}\end{equation}$

となり、これで

x

$x$ の値がわかります。

ちなみに、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

\begin{matrix} AB & = 2 AM AB & = 2 r sin \frac{θ}{2} \\ (3) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{AB}&=2\text{AM}\\[0.5em]\text{AB}&=2r\sin\frac{\theta}{2}\tag3\end{align*}$

で求めることができます。

　では、ニュートン法で弧

AB

$\text{AB}$ に対する中心角

θ

$θ$ の近似値を求めてみましょう。

f (θ) = θ - sin θ - \frac{2 π}{3}

$f(θ)=θ-\sinθ-\dfrac{2\pi}{3}$ を考えます。
ニュートン法で

f (θ) = 0

$f(θ)=0$ を満たす

θ

$θ$ の近似値を求めるには、

f^{'} (θ)

$f'(θ)$ と

θ_{n}

$θ_n$ における接線のθ切片

θ_{n + 1}

$θ_{n+1}$ を表す式、

θ

$θ$ に最初に代入する値

θ_{0}

$θ_0$ が必要になります。

f^{'} (θ)

$f'(θ)$ は

f^{'} (θ) = 1 - cos θ

$f'(\theta)=1-\cos\theta$

θ_{n + 1}

$θ_{n+1}$ を表す式は

θ_{n + 1} = θ_{n} - \frac{f (θ_{n})}{f^{'} (θ_{n})}

$\theta_{n+1}=\theta_n-\frac{f(\theta_n)}{f'(\theta_n)}$

をもちいます。
ちなみに

θ_{n + 1}

$θ_{n+1}$ を表す式に

f (θ_{n}), f^{'} (θ_{n})

$f(θ_n),f'(θ_n)$ に代入すれば

\begin{matrix} θ_{n + 1} & = θ_{n} - \frac{θ_{n} - sin θ_{n}}{1 - cos θ_{n}} = \frac{sin θ_{n} - θ_{n} cos θ_{n}}{1 - cos θ_{n}} \end{matrix}

$\begin{align*}\theta_{n+1}&=\theta_n-\frac{\theta_n-\sin\theta_n}{1-\cos\theta_n}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta_n-\theta_n\cos\theta_n}{1-\cos\theta_n}\end{align*}$

とも書けます。