円を3等分する平行線はどこに引く？ ~ 数学について考えてみる

　円に平行な直線を2本引いて円の面積を3等分したいとき、2本の平行な直線はそれぞれどこに引けばよいでしょうか？

　直線

$l$ を円の中心

$\text{O}$ から

$x$ だけ離れた位置に引いた場合を考えます。

直線

$l$ が円

$\text{O}$ の面積を3等分する平行な2本の直線の1本であった場合、直線

$l$ と円

$\text{O}$ の2つの交点をそれぞれ

$\text{A, B}$ としたときの弓形

$\text{AB}$ の面積は円

$\text{O}$ の面積の

$\dfrac{1}{3}$ となります。

円は線対称な図形なので、もう1本の直線 $m$ を中心 $\text{O}$ から直線 $l$ とは逆方向に $x$ だけ離れた位置に引くことで直線 $m$ と円 $\text{O}$ の2つの交点をそれぞれ $\text{C, D}$ としたときの弓形 $\text{CD}$ の面積もまた、円 $\text{O}$ の面積の $\dfrac{1}{3}$ となります。
あとは、円の中心 $\text{O}$ からの距離 $x$ が分かれば、円の面積を3等分できます。

$x$ を求めるために、まずは弓形

$\text{AB}$ の面積について考えます。

弓形

$\text{AB}$ の面積はおうぎ形

$\text{OAB}$ の面積から

$△\text{OAB}$ の面積を引いたものとなります。

円

$\text{O}$ の半径が

$r$ 、弧

$\text{AB}$ に対する中心角が

$θ\mathrm[rad]$ のとき、おうぎ形

$\text{AB}$ の面積は

$おうぎ形\text{AB}=\dfrac{θr^2}{2}$ と表されます。
また、

$△\text{OAB}$ の面積は

$△\text{OAB}=\dfrac{r^2\sinθ}{2}$ となります。

したがって、弓形

$\text{AB}$ の面積は

$\begin{align*}弓形\text{AB}&=\frac{\theta r^2}{2}-\frac{r^2\sinθ}{2}\\[0.5em]&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\end{align*}$

となります。

ここで、円 $\text{O}$ の面積は $\pi r^2$ なので、3等分してできる各図形の面積は $\dfrac{\pi r^2}{3}$ となります。

以上より、方程式

$\begin{equation}\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{\pi r^2}{3}\end{equation}$

を満たす

$θ$ が弓形

$\text{AB}$ が円

$\text{O}$ の

$\dfrac{1}{3}$ の面積をもつときの弧

$\text{AB}$ に対する中心角となります。

変形して簡単な形にすると

$\begin{equation}\theta-\sin\theta-\frac{2\pi}{3}=0\end{equation}$

となりますが、この方程式を解いて

$θ$ の値を求めるのは大変なのでニュートン法により近似値を求めます。

　ニュートン法で

$θ$ の近似値が分かれば、

$x$ の値も近似値として求められます。

$△\text{OAB}$ は二等辺三角形なので、頂角

$∠\text{AOB}$ の二等分線は頂点

$\text{O}$ から底辺

$\text{AB}$ へおろした垂線となります。

垂線の足を

$\text{M}$ とすると、線分

$\text{OM}$ の長さは点

$\text{O}$ から直線

$l$ の距離に等しく

$x$ となります。

ここで、

$△\text{OAM}$ に着目すれば

$\text{OA}=r,∠\text{AOM}=\dfrac{θ}{2}$ であることと三角比より

$\begin{equation}x=r\cos\frac{\theta}{2}\end{equation}$

となり、これで

$x$ の値がわかります。

ちなみに、線分

$\text{AB}$ の長さは

$\begin{align*}\text{AB}&=2\text{AM}\\[0.5em]\text{AB}&=2r\sin\frac{\theta}{2}\tag3\end{align*}$

で求めることができます。

　では、ニュートン法で弧

$\text{AB}$ に対する中心角

$θ$ の近似値を求めてみましょう。

$f(θ)=θ-\sinθ-\dfrac{2\pi}{3}$ を考えます。
ニュートン法で

$f(θ)=0$ を満たす

$θ$ の近似値を求めるには、

$f'(θ)$ と

$θ_n$ における接線のθ切片

$θ_{n+1}$ を表す式、

$θ$ に最初に代入する値

$θ_0$ が必要になります。

$f'(θ)$ は

$f'(\theta)=1-\cos\theta$

$θ_{n+1}$ を表す式は

$\theta_{n+1}=\theta_n-\frac{f(\theta_n)}{f'(\theta_n)}$

をもちいます。
ちなみに

$θ_{n+1}$ を表す式に

$f(θ_n),f'(θ_n)$ に代入すれば

$\begin{align*}\theta_{n+1}&=\theta_n-\frac{\theta_n-\sin\theta_n}{1-\cos\theta_n}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta_n-\theta_n\cos\theta_n}{1-\cos\theta_n}\end{align*}$

とも書けます。

$θ_0$ は、

$f(θ)=0$ を満たす

$θ$ 付近の値をとれば良いので

$θ_0=\dfrac{2\pi}{3}$ とします。

これらを利用して表計算ソフトで計算します。

セルへの入力例は下図（残りのセルは上のセルからオートフィル機能で埋めます。）、