三角形の外心、垂心、重心の間には以下のような関係があります。
「三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在する。」
上図のように△\text{ABC}の外心\text{O}、垂心\text{H}、重心\text{G}の3点は必ず一直線上に並びます。
これが成り立つことを確かめてみます。
鋭角三角形の場合
鋭角三角形
\text{ABC}の外心を
\text{O}、垂心を
\text{H}、辺
\text{BC}の中点を
\text{M}、線分
\text{AM}と
\text{OH}の交点を
\text{P}とします。
△\text{AHP}と△\text{MOP}に着目すると、
\text{AH, OM}はともに辺\text{BC}に対し垂直なので\text{AH}//\text{OM}です。
上記より錯角は等しいので∠\text{HAP}=∠\text{OMP, }∠\text{AHP}=∠\text{MOP}です。
2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
その相似比は、三角形の外心と垂心の関係より\text{AH}:\text{MO}=2:1。また、\text{AP}:\text{MP}=2:1でもあります。
ここで、線分\text{AM}は△\text{ABC}の中線の1本で、点\text{P}は中線\text{AM}を2:1に内分する点ということになります。
そして△\text{ABC}の重心もまた中線\text{AM}を2:1に内分するので点\text{P}は重心であることがわかります。
重心\text{P}は外心\text{O}と垂心\text{H}を結ぶ直線\text{OH}上に存在するため、鋭角三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在することがわかります。
直角三角形の場合
∠\text{A}=90°である直角三角形
\text{ABC}の垂心は頂点
\text{A}にあり、外心
\text{O}は斜辺
\text{BC}の中点にあります。
線分\text{AO}は直角三角形\text{ABC}の中線となるので、重心\text{G}は\text{AO}上に存在しています。
したがって、直角三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在することがわかります。
鈍角三角形の場合
∠\text{A}が鈍角である鈍角三角形
\text{ABC}の垂心を
\text{H}、辺
\text{BC}の中点を
\text{M}、線分
\text{AM}と
\text{OH}の交点を
\text{P}とします。
△\text{AHP}と△\text{MOP}に着目すると、
\text{AH, OM}はともに辺\text{BC}に対し垂直なので\text{AH}//\text{OM}です。
上記より錯角は等しいので∠\text{HAP}=∠\text{OMP, }∠\text{AHP}=∠\text{MOP}です。
2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
その相似比は、三角形の外心と垂心の関係より\text{AH}:\text{MO}=2:1。また、\text{AP}:\text{MP}=2:1でもあります。
点\text{P}は中線\text{AM}を2:1に内分する点なので、点\text{P}は△\text{ABC}の重心であることがわかります。
重心\text{P}は外心\text{O}と垂心\text{H}を結ぶ直線\text{OH}上に存在するため、鋭角三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在することがわかります。
二等辺三角形の場合
上の3つの場合分けですべての三角形の場合を考えたように思えますが、実は例外があります。それは二等辺三角形の場合です。
\text{AB}=\text{AC}である二等辺三角形
\text{ABC}の外心
\text{O}、垂心
\text{H}、重心
\text{H}はすべて底辺
\text{BC}の垂直二等分線上に存在します。これは底辺の垂直二等分線が外心が存在している「辺の垂直二等分線」であり、垂心が存在している「頂点から対辺へおろした垂線」でもあり、重心が存在している「中線」でもあるためです。
したがって、二等辺三角形の外心、垂心、重心は同一直線上に存在することがわかります。
鋭角三角形または鈍角三角形で二等辺三角形である場合、中線と外心と垂心を結ぶ直線が重なってしまうため、三角形の相似を利用する方法が使えないので例外となります。
また、二等辺三角形の中でも特殊である正三角形の外心、垂心、重心はすべて一点に集まっています。
したがって、他の三角形においては外心、垂心、重心の3点を通る直線はただ1つであるのに対し、正三角形においてはこれら3点を通る直線は無数に存在します。
三角形の外心、垂心、重心の3点を通る直線のことをオイラー線といいます。これは1つの三角形に対し1本存在します。
しかし、外心、垂心、重心の3点を通る直線が無数に存在する正三角形のみオイラー線を定義できません。