三角形の外接円の中心が2辺の垂直二等分線の交点で求められるのはナゼ？

　三角形の外接円の中心は、三角形の2辺の垂直二等分線の交点より求まります。

なぜ、2辺の垂直二等分線を引くことで外接円の中心が求まるのでしょうか？

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　三角形の外接円とは、三角形の3つの頂点を通る円のことです。

外接円の中心と三角形の頂点を結んだ線分はいずれも外接円の半径となるため、外接円の中心には、各頂点からの距離が等しいという性質があります。

ところで、線分の垂直二等分線には、線分の両端からの距離が等しい点はすべて垂直二等分線上にあるという性質があります。

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すなわち、任意の三角形$△\text{ABC}$において、頂点$\text{A}, \text{B}$からの距離が等しい点はすべて辺$\text{AB}$の垂直二等分線上にあるということです。

同様に、頂点$\text{B}, \text{C}$からの距離が等しい点はすべて辺$\text{BC}$の垂直二等分線上に、
頂点$\text{C}, \text{A}$からの距離が等しい点はすべて辺$\text{CA}$の垂直二等分線上にあります。

どの2辺を選んでも、それらに3つの頂点がすべて含まれるので、2辺の垂直二等分線の交点は3つの頂点からの距離が等しいという性質をもちます。

例えば、$△\text{ABC}$の辺$\text{AB}, \text{BC}$の垂直二等分線の交点を$\text{O}$としたとき、点$\text{O}$は頂点$\text{A}, \text{B}$からの距離が等しく、かつ頂点$\text{B}, \text{C}$からの距離も等しいので、

\[\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}\]

が成り立つことがわかります。

3つの頂点からの距離が等しいならば、その点を中心として3つの頂点を通る円を描くことができ、この円は上の三角形の外接円の定義を満たしています。

したがって、三角形の2辺の垂直二等分線の交点は外接円の中心であることがわかります。

どの2辺の垂直二等分線の交点も同一の点である、すなわち3辺の垂直二等分線はただ1点で交わることが知られており、この点のことを外心といいます。

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(2026/9)内容を変更しました。

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