平方根の計算　分母の有理化 ~ 数学について考えてみる

2021年8月26日

平方根の計算　分母の有理化

PLUMBAGO

次の計算をせよ。

\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

[類・02　明海大]

　このような問題を解くには、最初に分母の有理化をします。

分母の有理化

　分母の有理化とは、分数の分母を整数にすることです。

　分母が

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ や

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ のような場合には、同じものをかければルートが外れますが、分母だけにかけると値が変わってしまうので、分子にも同じものをかけます。

例：

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

　分母が

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$ のように二項になっている場合は

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

という、展開の公式を利用します。分母の後ろの方の項の正負が逆になったものをかけます。上の場合と同様に分子にも同じものをかけます。

例：

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2} - 1} & = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}-1}&=\frac{1}{\sqrt{2}-1}×\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}\\[0.5em]&=\sqrt{2}+1\end{align*}$

問題を解く

上記を踏まえて、問いの各項を有理化します。

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} & = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} & = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2} - 1} & = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}&=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\\[1em]\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}&=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\[0.5em]&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\\[1em]\frac{1}{\sqrt{2}-1}&=\frac{1}{\sqrt{2}-1}×\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}\\[0.5em]&=\sqrt{2}+1\end{align*}$

あとは、有理化したもので計算するだけです。

\begin{matrix} (与 式) & = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1) = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + 2}{2} \end{matrix}

$\begin{align*}(与式)&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}+2}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}{2}\end{align*}$