平方根の計算　足し算・引き算 ~ 数学について考えてみる

2021年8月25日

平方根の計算　足し算・引き算

PLUMBAGO

次の計算をせよ。

2 \sqrt{12} - 4 \sqrt{45} + \sqrt{108} + 3 \sqrt{125}

$2\sqrt{12}-4\sqrt{45}+\sqrt{108}+3\sqrt{125}$

[類・06　四国大]

　このような問題を解く場合、2つポイントがあります。

1. (素)因数分解

2. 同類項をまとめる

1. (素)因数分解

　計算しやすくするために根号の中身を因数分解します。そして因数の中に同じものが2つあればルートの外に出します。

基本的にルートの外に出せるものは全て出してしまうので、どれがルートの外に出せるのかがよく分かるように素数まで分解する素因数分解を行います。

例えば、

\begin{aligned} \sqrt{56} & = \sqrt{7 \times 8} = \sqrt{7 \times 2^{3}} \\ = \sqrt{7 \times 2 \times 2^{2}} \\ = 2 \sqrt{14} \end{aligned}

$\begin{align*}\sqrt{56}&=\sqrt{7×8}=\sqrt{7×2^3}\\ &=\sqrt{7×2×2^2}\\ &=2\sqrt{14}\end{align*}$

のように、素因数分解をして”2”が2個あったのでルートの外に出せますが、ルートの中には”2”と”7”が1つずつ残ります。ルートの中に残ったものを計算して

\sqrt{14}

$\sqrt{14}$ にします。

2. 同類項をまとめる

　平方根には、文字式と似た性質があり、根号の中身が違う項はまとめられませんが、同じであれば同類項としてまとめることができます。

　例えば、

\sqrt{2} + \sqrt{3}

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は根号の中身が2と3で違うのでまとめることができませんが、

3 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2} = (3 + 7) \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}

$3\sqrt{2}+7\sqrt{2}=(3+7)\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

のように、根号の中身が同じ項同士はまとめることができます。

問題を解く

　以上を踏まえて問題を解きます。
同類項がないので、最初に因数分解をします。各項の平方根は以下のようになります。

\begin{aligned} \sqrt{12} & = \sqrt{4 \times 3} \\ = \sqrt{2^{2} \times 3} \\ = 2 \sqrt{3} \\ \sqrt{45} & = \sqrt{5 \times 9} \\ = \sqrt{5 \times 3^{2}} \\ = 3 \sqrt{5} \\ \sqrt{108} & = \sqrt{2 \times 54} \\ = \sqrt{2 \times 6 \times 9} \\ = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} \times 3 \times 3^{2}} \\ = 2 \times 3 \sqrt{3} \\ = 6 \sqrt{3} \\ \sqrt{125} & = \sqrt{5 \times 25} \\ = \sqrt{5 \times 5^{2}} \\ = 5 \sqrt{5} \end{aligned}

$\begin{align*}\sqrt{12}&=\sqrt{4×3}\\[0.5em]&=\sqrt{2^2×3}\\[0.5em]&=2\sqrt{3}\\[1em]\sqrt{45}&=\sqrt{5×9}\\[0.5em]&=\sqrt{5×3^2}\\[0.5em]&=3\sqrt{5}\\[1em]\sqrt{108}&=\sqrt{2×54}\\[0.5em]&=\sqrt{2×6×9}\\[0.5em]&=\sqrt{2×2×3×3^2}\\[0.5em]&=\sqrt{2^2×3×3^2}\\[0.5em]&=2×3\sqrt{3}\\[0.5em]&=6\sqrt{3}\\[1em]\sqrt{125}&=\sqrt{5×25}\\[0.5em]&=\sqrt{5×5^2}\\[0.5em]&=5\sqrt{5}\end{align*}$

すると与式は、