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2021年8月21日

共通の内角を持つ三角形の面積を求める

三角形の中の三角形の面積は?
「面積が1010ABCABCの辺AC, BCAC, BC上にそれぞれ
AC:PC=3:2,BC:QC=5:3AC:PC=3:2,BC:QC=5:3
となるような点P, QP, QがあるときPQCPQCの面積を求めよ。」

 まず基本から。三角形の面積は
()×()÷2
で知ることができます。
なので、ABCQPCにおける底辺と高さそれぞれの関係を調べることで問題を解くことができます。

底辺の長さの関係

 まずは、底辺の長さの関係を調べてみます。
Pについては考えずに線分AQを引き、ABCAQCの面積の関係を考えます。
高さの等しい三角形の底辺の長さの関係
ABCAQCは高さが等しく底辺の長さが異なる三角形の組です。
このとき、辺BCの側を底辺とし、高さをhとおくとABCの面積は
ABC=12hBC
AQCの面積は
AQC=12hQC
で表されます。
ここで、BC:QC=5:3より底辺の長さの関係は
5QC=3BCQC=35BC
となるので、AQCの面積は
AQC=12hQC=12h×35BC=35×12hBC∴△AQC=35ABC
となります。
ABCAQCの面積比は(1)より
ABC:△AQC=△ABC:35ABC=1:35=5:3
となり、高さが等しい三角形の組は底辺の長さの比がそのまま面積比となることがわかります。

高さの関係

 次は高さの関係について調べます。
線分PQを引き、AQCPQCの面積の関係について考えます。
底辺の長さが等しい三角形の高さの関係
AQCPQCは底辺の長さが同じで高さが異なる三角形の組です。
高さの関係を知るための事前作業として、点AからQCに垂線をおろしてその交点をR、点PからQCに垂線をおろしてその交点をSとします。
ARAQCにおける高さ(底辺の長さの関係で登場したhと同じもの)、PSPQCにおける高さとなります。
高さであるARPSの関係を知るために、ARCPSCについて考えます。
ARC=PSC=90°、共通の角ACR=PCSよりAQCPQCは相似であることがわかります。その相似比はAC:PC=3:2です。
またAR:PS=3:2も成り立つため高さの関係は
PS=23AR
となります。
このことからPQCの面積は
PQC=12QC×PS=12QC×23AR=23×12QC×AR∴△PQC=23AQC
となります。
AQCPQCの面積比は(2)より
AQC:△PQC=△AQC:23AQC=3:2
となり、底辺の長さが等しい三角形の組は底辺以外の辺の長さの比が高さの比、そして面積比にも等しくなることがわかります。

面積を求める

 (1),(2)を利用してPQCの面積を表すと
PQC=23AQC=23×35ABC=25ABC
となります。
ABCの面積は10と与えられているので
PQC=25×10=4
となり、問題の答えは4と求まります。

 段階を踏んでPQCの面積を求めると上記のようになりますが、辺BCを底辺とするとBC:QC=5:3ABCPQCの底辺の長さの比、AC:PC=3:2AQCPQCの高さの比であり、ABCPQCの高さの比にもなることを理解していればより簡単な計算で求めることができます。

BCを底辺、ABCの高さをhとすればABCの面積は
ABC=12hBC
で表されます。
BC:QC=5:3よりPQCの底辺の長さはABC35倍、AC:PC=3:2よりPQCの高さはABC23倍となるので、PQCの面積は
PQC=12×23h×35BC=23×35×12hBC=23×35ABC=25ABC
ABC=10なので
PQC=25×10=4
となります。

()のように元の三角形の面積と2つの辺の長さの割合の積で計算できることを知っていると素早く面積を求めることができます。

出典:Plumbago雑記(改変あり)
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