「面積が1010の△ABC△ABCの辺AC, BCAC, BC上にそれぞれ
AC:PC=3:2,BC:QC=5:3AC:PC=3:2,BC:QC=5:3
となるような点P, QP, Qがあるとき△PQC△PQCの面積を求めよ。」
まず基本から。三角形の面積は
(底辺)×(高さ)÷2
で知ることができます。
なので、△ABCと△QPCにおける底辺と高さそれぞれの関係を調べることで問題を解くことができます。
底辺の長さの関係
まずは、底辺の長さの関係を調べてみます。
このとき、辺BCの側を底辺とし、高さをhとおくと△ABCの面積は
△ABC=12hBC
△AQCの面積は
△AQC=12hQC
で表されます。
ここで、BC:QC=5:3より底辺の長さの関係は
5QC=3BCQC=35BC
となるので、△AQCの面積は
△AQC=12hQC=12h×35BC=35×12hBC∴△AQC=35△ABC
となります。
△ABCと△AQCの面積比は(1)より
△ABC:△AQC=△ABC:35△ABC=1:35=5:3
となり、高さが等しい三角形の組は底辺の長さの比がそのまま面積比となることがわかります。
高さの関係
次は高さの関係について調べます。
線分PQを引き、△AQCと△PQCの面積の関係について考えます。
高さの関係を知るための事前作業として、点AからQCに垂線をおろしてその交点をR、点PからQCに垂線をおろしてその交点をSとします。
ARは△AQCにおける高さ(底辺の長さの関係で登場したhと同じもの)、PSは△PQCにおける高さとなります。
高さであるARとPSの関係を知るために、△ARCと△PSCについて考えます。
∠ARC=∠PSC=90°、共通の角∠ACR=∠PCSより△AQCと△PQCは相似であることがわかります。その相似比はAC:PC=3:2です。
またAR:PS=3:2も成り立つため高さの関係は
∠ARC=∠PSC=90°、共通の角∠ACR=∠PCSより△AQCと△PQCは相似であることがわかります。その相似比はAC:PC=3:2です。
またAR:PS=3:2も成り立つため高さの関係は
PS=23AR
となります。
このことから△PQCの面積は
△PQC=12QC×PS=12QC×23AR=23×12QC×AR∴△PQC=23△AQC
となります。
△AQCと△PQCの面積比は(2)より
△AQC:△PQC=△AQC:23△AQC=3:2
となり、底辺の長さが等しい三角形の組は底辺以外の辺の長さの比が高さの比、そして面積比にも等しくなることがわかります。
面積を求める
(1),(2)を利用して△PQCの面積を表すと
△PQC=23△AQC=23×35△ABC=25△ABC
となります。
△ABCの面積は10と与えられているので
△PQC=25×10=4
となり、問題の答えは4と求まります。
段階を踏んで△PQCの面積を求めると上記のようになりますが、辺BCを底辺とするとBC:QC=5:3が△ABCと△PQCの底辺の長さの比、AC:PC=3:2が△AQCと△PQCの高さの比であり、△ABCと△PQCの高さの比にもなることを理解していればより簡単な計算で求めることができます。
辺BCを底辺、△ABCの高さをhとすれば△ABCの面積は
△ABC=12hBC
で表されます。
BC:QC=5:3より△PQCの底辺の長さは△ABCの35倍、AC:PC=3:2より△PQCの高さは△ABCの23倍となるので、△PQCの面積は
△PQC=12×23h×35BC=23×35×12hBC=23×35△ABC=25△ABC
△ABC=10なので
△PQC=25×10=4
となります。
(∗)のように元の三角形の面積と2つの辺の長さの割合の積で計算できることを知っていると素早く面積を求めることができます。
出典:Plumbago雑記(改変あり)
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