別の記事で5倍角に関係する角度に触れたので、5倍角の式を求めてみようと思います。
省略している部分もありますが、計算過程も載せておきます。
2倍角
2倍角を求めるには、加法定理を利用します。
\begin{align*}\sin2θ&=\sin(θ+θ)\\[0.5em]&=\cosθ\sinθ+\sinθ\cosθ\\[0.5em]&=\underline{2\sinθ\cosθ}\\[1em]\cos2θ&=\cos(θ+θ)\\[0.5em]&=\cosθ\cosθ-\sinθ\sinθ\\[0.5em]&=\underline{\cos^2θ-\sin^2θ}\\[1em]\tan2θ&=\frac{\sin2θ}{\cos2θ}\\[0.5em]&=\frac{2\sinθ\cosθ}{\cos^2θ-\sin^2θ}×\frac{\cfrac{1}{\cos^2θ}}{\cfrac{1}{\cos^2θ}}\\[0.5em]&=\underline{\cfrac{2\tanθ}{1-\tan^2θ}}\end{align*}
すでに求めた倍角の式を使いながら、3倍角、4倍角、5倍角も同様、加法定理を利用して求めます。
3倍角
\begin{align*}\sin3θ&=\sin(2θ+θ)\\[0.5em]&=\cos2θ\sinθ+\sin2θ\cosθ\\[0.5em]&=(\cos^2θ-\sin^2θ)\sinθ+2\sinθ\cos^2θ\\[0.5em]&=3\sinθ\cos^2θ-\sin^3θ\\[0.5em]&=3\sinθ\left(1-\sin^2θ\right)-\sin^3θ\\[0.5em]&=\underline{3\sinθ-4\sin^3θ}\\[1em]\cos3θ&=\cos(2θ+θ)\\[0.5em]&=\cos2θ\cosθ-\sin2θ\sinθ\\[0.5em]&=\left(\cos^2θ-\sin^2θ\right)\cosθ-2\sin^2θ\cosθ\\[0.5em]&=\cos^3θ-3\sin^2θ\cosθ\\[0.5em]&=\cos^3θ-3\left(1-\cos^2θ\right)\cosθ\\[0.5em]&=\underline{4\cos^3θ-3\cosθ}\\[1em]\tan3θ&=\cfrac{\sin3θ}{\cos3θ}\\[0.5em]&=\frac{3\sinθ-4\sin^3θ}{4\cos^3θ-3\cosθ}×\frac{\cfrac{1}{\cos^3θ}}{\cfrac{1}{\cos^3θ}}\\[0.5em]&=\frac{3\tanθ\cdot\cfrac{1}{\cos^2θ}-4\tan^3θ}{4-3\cdot\cfrac{1}{\cos^2θ}}\end{align*}
三角関数の相互関係より
\[\frac{1}{\cos^2θ}=1+\tan^2θ\]
なので、
\begin{align*}\tan3θ&=\cfrac{3\tanθ\left(1+\tan^2θ\right)-4\tan^3θ}{4-3\left(1+\tan^2θ\right)}\\[0.5em]&=\frac{3\tanθ-\tan^3θ}{1-3\tan^2θ}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\tan^3θ-3\tanθ}{3\tan^2θ-1}}\end{align*}
4倍角
\begin{align*}\sin4θ&=\sin(3θ+θ)\\[0.5em]&=\cos3θ\sinθ+\sin3θ\cosθ\\[0.5em]&=\left(4\cos^3θ-3\cosθ\right)\sinθ\\
&\qquad+\left(3\sinθ-4\sin^3θ\right)\cosθ\\[0.5em]&=4\sinθ\cos^3θ-4\sin^3θ\cosθ\\[0.5em]&=4\sinθ\cosθ\left(\cos^2θ-\sin^2θ\right)\\[0.5em]&=\underline{4\sinθ\cosθ\left(1-2\sin^2θ\right)}\\[1em]\cos4θ&=\cos(3θ+θ)\\[0.5em]&=\cos3θ\cosθ-\sin3θ\sinθ\\[0.5em]&=\left(4\cos^3θ-3\cosθ\right)\cosθ\\
&\qquad-\left(3\sinθ-4\sin^3θ\right)\sinθ\\[0.5em]&=4\cos^4θ-3\cos^2θ-3\sin^2θ+4\sin^4θ\\[0.5em]&=4\cos^4θ-3\cos^2θ\\
&\qquad-3\left(1-\cos^2θ\right)+4\left(1-\cos^2θ\right)^2\\[0.5em]&=\underline{8\cos^4θ-8\cos^2θ+1}\\[1em]\tan4θ&=\frac{\sin4θ}{\cos4θ}\\[0.5em]&=\frac{4\sinθ\cosθ\left(1-2\sin^2θ\right)}{8\cos^4θ-8\cos^2θ+1}×\frac{\cfrac{1}{\cos^4θ}}{\cfrac{1}{\cos^4θ}}\\[0.5em]&=\frac{4\tanθ\left(\cfrac{1}{\cos^2θ}-2\tan^2θ\right)}{8-8\cdot\cfrac{1}{\cos^2θ}+\left(\cfrac{1}{\cos^2θ}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{4\tanθ\left(1-\tan^2θ\right)}{8-8\left(1+\tan^2θ\right)+\left(1+\tan^2θ\right)^2}\\[0.5em]&=\underline{\frac{4\tanθ-4\tan^3θ}{\tan^4θ-6\tan^2θ+1}}\end{align*}
5倍角
\begin{align*}\sin5θ&=\sin(4θ+θ)\\[0.5em]&=\cos4θ\sinθ+\sin4θ\cosθ\\[0.5em]&=\left(8\cos^4θ-8\cos^2θ+1\right)\sinθ\\
&\qquad+\left\{4\sinθ\cosθ\left(1-2\sin^2θ\right)\right\}\cosθ\\[0.5em]&=8\sinθ\cos^4θ-8\sin^3θ\cos^2θ\\
&\qquad-4\sinθ\cos^2θ+\sinθ\\[0.5em]&=4\sinθ\left(1-\cos^2θ\right)^2-8\sin^3θ\left(1-\cos^2θ\right)\\
&\qquad-4\sinθ\left(1-\cos^2θ\right)+\sinθ\\[0.5em]&=\underline{16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ}\\[1em]\cos5θ&=\cos(4θ+θ)\\[0.5em]&=\cos4θ\cosθ-\sin4θ\sinθ\\[0.5em]&=\left(8\cos^4θ-8\cos^2θ+1\right)\cosθ\\
&\qquad-\left\{4\sinθ\cosθ\left(1-2\sin^2θ\right)\right\}\sinθ\\[0.5em]&=8\cos^5θ-8\cos^3θ+\cosθ\\
&\qquad+8\sin^4θ\cosθ-4\sin^2θ\cosθ\\[0.5em]&=8\cos^5θ-8\cos^3θ+\cosθ\\
&\qquad+8\left(1-\cos^2θ\right)^2\cosθ-4\left(1-\cos^2θ\right)\cosθ\\[0.5em]&=\underline{16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ}\\[1em]\tan5θ&=\frac{\sin5θ}{\cos5θ}\\[0.5em]&=\frac{16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ}{16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ}\cdot\frac{\cfrac{1}{\cos^5θ}}{\cfrac{1}{\cos^5θ}}\\[0.5em]&=\frac{16\tan^5θ-20\tan^3θ\cdot\cfrac{1}{\cos^2θ}+5\tanθ\left(\cfrac{1}{\cos^2θ}\right)^2}{16-20\cdot\cfrac{1}{\cos^2θ}+5\left(\cfrac{1}{\cos^2θ}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{16\tan^5θ-20\tan^3θ\left(1+\tan^2θ\right)+5\tanθ\left(1+\tan^2θ\right)^2}{16-20\left(1+\tan^2θ\right)+5\left(1+\tan^2θ\right)^2}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\tan^5θ-10\tan^3θ+5\tanθ}{5\tan^4θ-10\tan^2θ+1}}\end{align*}
以上のように、2倍角から5倍角までの式を求めることができました。
しかし、5倍角を求める式を導くまでに3倍角、4倍角の$\sin$と$\cos$の式をいちいち求めないといけないので面倒です。
ド・モアブルの定理を知っていれば、もっと簡単に求めることができます。
ド・モアブルの定理
\[(\cosθ+i\sinθ)^n=\cos nθ+i\sin nθ\]
より、
\begin{align*}&(\cosθ+i\sinθ)^5\\
&=\cos^5θ+i5\sinθ\cos^4θ-10\sin^2θ\cos^3θ\\
&\qquad-i10\sin^3θ\cos^2θ+5\sin^4θ\cosθ+i\sin^5θ\\[0.5em]&=\cos^5θ-10\cos^3θ\sin^2θ+5\cosθ\sin^4θ\\
&\qquad+i\left(\sin^5θ-10\sin^3θ\cos^2θ+\sinθ\cos^4θ\right)\\[0.5em]&=\cos^5θ-10\cos^3θ\left(1-\cos^2θ\right)+5\cosθ\left(1-\cos^2θ\right)^2\\
&\qquad+i\left\{\sin^5θ-10\sin^3θ\left(1-\sin^2θ\right)+5\sinθ\left(1-\sin^2θ\right)^2\right\}\\[0.5em]&=\underline{16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ}\\
&\qquad\underline{+i(16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ)}\\[0.5em]&\underline{=\cos5θ+i\sin5θ}\end{align*}
したがって、
\begin{align*}\sin5θ&=16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ\\[1em]\cos5θ&=16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ\end{align*}
このように、2倍角、3倍角、4倍角と順番に計算することなく、一発で目的の式を導くことができます。
ちなみに、2項式のべき乗の計算は、二項定理を使えば係数がすぐわかるのでスムーズに計算できます。
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