2倍角
2倍角を求めるには、加法定理を利用します。
\begin{align*}\sin2\theta&=\sin(\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta\\[0.5em]\therefore\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\\[1em]\cos2\theta&=\cos(\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\[0.5em]\therefore\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta}\\[0.5em]&=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}×\frac{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}\\[0.5em]\therefore\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\end{align*}
加法定理とすでに求めた倍角の式を利用して、3倍角、4倍角、5倍角も同様にして求めます。
3倍角
\begin{align*}\sin3\theta&=\sin(2\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos2\theta\sin\theta+\sin2\theta\cos\theta\\[0.5em]&=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\sin\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\\[0.5em]&=3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\[0.5em]&=3\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)-\sin^3\theta\\[0.5em]\therefore\sin3\theta&=3\sin\theta-4\sin^3\theta\\[1em]\cos3\theta&=\cos(2\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\[0.5em]&=\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\[0.5em]&=\cos^3\theta-3\sin^2\theta\cos\theta\\[0.5em]&=\cos^3\theta-3\left(1-\cos^2\theta\right)\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos3\theta&=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\[1em]\tan3\theta&=\cfrac{\sin3\theta}{\cos3\theta}\\[0.5em]&=\frac{3\sin\theta-4\sin^3\theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}×\frac{\cfrac{1}{\cos^3\theta}}{\cfrac{1}{\cos^3\theta}}\\[0.5em]&=\frac{3\tan\theta\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}-4\tan^3\theta}{4-3\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}}\end{align*}
三角関数の相互関係より
\[\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\]
なので、
\begin{align*}\tan3\theta&=\cfrac{3\tan\theta\left(1+\tan^2\theta\right)-4\tan^3\theta}{4-3\left(1+\tan^2\theta\right)}\\[0.5em]&=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\\[0.5em]\therefore\tan3\theta&=\frac{\tan^3\theta-3\tan\theta}{3\tan^2\theta-1}\end{align*}
4倍角
\begin{align*}\sin4\theta&=\sin(3\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos3\theta\sin\theta+\sin3\theta\cos\theta\\[0.5em]&=\left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)\sin\theta\\
&\qquad+\left(3\sin\theta-4\sin^3\theta\right)\cos\theta\\[0.5em]&=4\sin\theta\cos^3\theta-4\sin^3\theta\cos\theta\\[0.5em]&=4\sin\theta\cos\theta\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\\[0.5em]\therefore\sin4\theta&=4\sin\theta\cos\theta\left(1-2\sin^2\theta\right)\\[1em]\cos4\theta&=\cos(3\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos3\theta\cos\theta-\sin3\theta\sin\theta\\[0.5em]&=\left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)\cos\theta\\
&\qquad-\left(3\sin\theta-4\sin^3\theta\right)\sin\theta\\[0.5em]&=4\cos^4\theta-3\cos^2\theta-3\sin^2\theta+4\sin^4\theta\\[0.5em]&=4\cos^4\theta-3\cos^2\theta\\
&\qquad-3\left(1-\cos^2\theta\right)+4\left(1-\cos^2\theta\right)^2\\[0.5em]\therefore\cos4\theta&=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\\[1em]\tan4\theta&=\frac{\sin4\theta}{\cos4\theta}\\[0.5em]&=\frac{4\sin\theta\cos\theta\left(1-2\sin^2\theta\right)}{8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1}×\frac{\cfrac{1}{\cos^4\theta}}{\cfrac{1}{\cos^4\theta}}\\[0.5em]&=\frac{4\tan\theta\left(\cfrac{1}{\cos^2\theta}-2\tan^2\theta\right)}{8-8\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}+\left(\cfrac{1}{\cos^2\theta}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{4\tan\theta\left(1-\tan^2\theta\right)}{8-8\left(1+\tan^2\theta\right)+\left(1+\tan^2\theta\right)^2}\\[0.5em]\therefore\tan4\theta&=\frac{4\tan\theta-4\tan^3\theta}{\tan^4\theta-6\tan^2\theta+1}\end{align*}
5倍角
\begin{align*}\sin5\theta&=\sin(4\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos4\theta\sin\theta+\sin4\theta\cos\theta\\[0.5em]&=\left(8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\right)\sin\theta\\
&\qquad+\left\{4\sin\theta\cos\theta\left(1-2\sin^2\theta\right)\right\}\cos\theta\\[0.5em]&=8\sin\theta\cos^4\theta-8\sin^3\theta\cos^2\theta\\
&\qquad-4\sin\theta\cos^2\theta+\sin\theta\\[0.5em]&=4\sin\theta\left(1-\cos^2\theta\right)^2-8\sin^3\theta\left(1-\cos^2\theta\right)\\
&\qquad-4\sin\theta\left(1-\cos^2\theta\right)+\sin\theta\\[0.5em]\therefore\sin5\theta&=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta\\[1em]\cos5\theta&=\cos(4\theta+\theta)\\[0.5em]&=\cos4\theta\cos\theta-\sin4\theta\sin\theta\\[0.5em]&=\left(8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\right)\cos\theta\\
&\qquad-\left\{4\sin\theta\cos\theta\left(1-2\sin^2\theta\right)\right\}\sin\theta\\[0.5em]&=8\cos^5\theta-8\cos^3\theta+\cos\theta\\
&\qquad+8\sin^4\theta\cos\theta-4\sin^2\theta\cos\theta\\[0.5em]&=8\cos^5\theta-8\cos^3\theta+\cos\theta\\
&\qquad+8\left(1-\cos^2\theta\right)^2\cos\theta-4\left(1-\cos^2\theta\right)\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos5\theta&=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta\\[1em]\tan5\theta&=\frac{\sin5\theta}{\cos5\theta}\\[0.5em]&=\frac{16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta}{16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta}\cdot\frac{\cfrac{1}{\cos^5\theta}}{\cfrac{1}{\cos^5\theta}}\\[0.5em]&=\frac{16\tan^5\theta-20\tan^3\theta\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}+5\tan\theta\left(\cfrac{1}{\cos^2\theta}\right)^2}{16-20\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}+5\left(\cfrac{1}{\cos^2\theta}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{16\tan^5\theta-20\tan^3\theta\left(1+\tan^2\theta\right)+5\tan\theta\left(1+\tan^2\theta\right)^2}{16-20\left(1+\tan^2\theta\right)+5\left(1+\tan^2\theta\right)^2}\\[0.5em]\therefore\tan5\theta&=\frac{\tan^5\theta-10\tan^3\theta+5\tan\theta}{5\tan^4\theta-10\tan^2\theta+1}\end{align*}
以上のように2倍角から5倍角までの式を求めることができました。
しかし、5倍角を求める式を導くまでに3倍角、4倍角の$\sin$と$\cos$の式をいちいち求めないといけないので面倒です。
ド・モアブルの定理を知っていれば、もっと簡単に求めることができます。
ド・モアブルの定理
\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\]
より、
\begin{align*}&(\cos\theta+i\sin\theta)^5\\
&=\cos^5\theta+i5\sin\theta\cos^4\theta-10\sin^2\theta\cos^3\theta\\
&\qquad-i10\sin^3\theta\cos^2\theta+5\sin^4\theta\cos\theta+i\sin^5\theta\\[0.5em]&=\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+5\cos\theta\sin^4\theta\\
&\qquad+i\left(\sin^5\theta-10\sin^3\theta\cos^2\theta+\sin\theta\cos^4\theta\right)\\[0.5em]&=\cos^5\theta-10\cos^3\theta\left(1-\cos^2\theta\right)+5\cos\theta\left(1-\cos^2\theta\right)^2\\
&\qquad+i\left\{\sin^5\theta-10\sin^3\theta\left(1-\sin^2\theta\right)+5\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)^2\right\}\\[0.5em]&=\mathbf{16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta}\\
&\qquad\mathbf{+i(16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta)}\\[0.5em]&\mathbf{=\cos5\theta+i\sin5\theta}\end{align*}
したがって、
\begin{align*}\sin5\theta&=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta\\[1em]\cos5\theta&=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta\end{align*}
このように、2倍角、3倍角、4倍角と順番に計算することなく、一発で目的の式を導くことができます。
ちなみに、2項式のべき乗の計算は、二項定理を使えば係数がすぐわかるのでスムーズに計算できます。
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