\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}
これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。
$\sin$の2倍角の公式
$\sin$の加法定理
\[\sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi\]
は、$θ=φ$のとき$θ$の2倍角$2θ$のときの$\sin$に関する式となります。
\begin{align*}\sin(\theta+\theta)&=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\[0.5em]\sin2\theta&=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\\[0.5em]\therefore\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\end{align*}
これが$\sin$の2倍角の公式となります。
$\cos$の2倍角の公式
$\cos$の加法定理
\[\cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi\]
は、$θ=φ$のとき$θ$の2倍角$2θ$のときの$\cos$に関する式となります。
\begin{align*}\cos(\theta+\theta)&=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\[0.5em]\therefore\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\end{align*}
これが$\cos$の2倍角の公式となります。
また、三角関数の相互関係$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を利用すると以下のような形に変形できます。
相互関係の変形$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$を代入すると
\begin{align*}\cos2\theta&=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)\\[0.5em]&=\cos^2\theta-1+\cos^2\theta\\[0.5em]\therefore\cos2\theta&=2\cos^2\theta-1\end{align*}
相互関係の変形$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$を代入すると
\begin{align*}\cos2\theta&=(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta\\[0.5em]\therefore\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\end{align*}
$\tan$の2倍角の公式
$\tan$の加法定理
\[\tan(\theta+\varphi)=\frac{\tan\theta+\tan\varphi}{1-\tan\theta\tan\varphi}\]
は、$θ=φ$のとき$θ$の2倍角$2θ$のときの$\tan$に関する式となります。
\begin{align*}\tan(\theta+\theta)&=\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}\\[0.5em]\therefore\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\end{align*}
これが$\tan$の2倍角の公式となります。
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