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2023年11月25日

三角関数 2倍角の公式

(1)sin2θ=2sinθcosθcos2θ=cos2θsin2θ(2)=2cos2θ1=12sin2θ(3)tan2θ=2tanθ1tan2θ
 これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。

sinの2倍角の公式

 sinの加法定理
sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ
は、θ=φのときθの2倍角2θのときのsinに関する式となります。
sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθsin2θ=sinθcosθ+sinθcosθsin2θ=2sinθcosθ
これがsinの2倍角の公式となります。

cosの2倍角の公式

 cosの加法定理
cos(θ+φ)=cosθcosφsinθsinφ
は、θ=φのときθの2倍角2θのときのcosに関する式となります。
cos(θ+θ)=cosθcosθsinθsinθcos2θ=cos2θsin2θ
これがcosの2倍角の公式となります。
 また、三角関数の相互関係sin2θ+cos2θ=1を利用すると以下のような形に変形できます。
 相互関係の変形sin2θ=1cos2θを代入すると
cos2θ=cos2θ(1cos2θ)=cos2θ1+cos2θcos2θ=2cos2θ1
 相互関係の変形cos2θ=1sin2θを代入すると
cos2θ=(1sin2θ)sin2θcos2θ=12sin2θ

tanの2倍角の公式

 tanの加法定理
tan(θ+φ)=tanθ+tanφ1tanθtanφ
は、θ=φのときθの2倍角2θのときのtanに関する式となります。
tan(θ+θ)=tanθ+tanθ1tanθtanθtan2θ=2tanθ1tan2θ
これがtanの2倍角の公式となります。

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