sin2θ2=1−cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1−cosθ1+cosθsin2θ2=1−cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1−cosθ1+cosθ
これら三角関数の半角の公式は、coscosの2倍角の公式
cos2θ=1−2sin2θ=2cos2θ−1cos2θ=1−2sin2θ=2cos2θ−1(a)(b)
を利用して導くことができます。
sinsinの半角の公式
sinsinの半角の公式は(a) cos2θ=1−2sin2θ(a) cos2θ=1−2sin2θを利用して導きます。
θθをθ2θ2に置き換えると
cos(2⋅θ2)=1−2sin2θ2cosθ=1−2sin2θ22sin2θ2=1−cosθ∴sin2θ2=1−cosθ2
これがsinの半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
sinθ2=±√1−cosθ2
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて2nπ≦θ2≦(2n+1)π、すなわち4nπ≦θ≦2(2n+1)πのときsinθ2≧0なので
sinθ2=√1−cosθ2
(2n−1)π<θ2<2nπ、すなわち2(2n−1)π<θ<4nπのときsinθ2<0なので
sinθ2=−√1−cosθ2
と表されます。
したがって、0≦θ<2πにおいてはsinθ2の値は常に0以上となります。
cosの半角の公式
cosの半角の公式は(b) cos2θ=2cos2θ−1を利用して導きます。
θをθ2に置き換えると
cos(2⋅θ2)=2cos2θ2−1cosθ=2cos2θ2−12cos2θ2=1+cosθ∴cos2θ2=1+cosθ2
これがcosの半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
cosθ2=±√1+cosθ2
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて(−12+2n)π≦θ2≦(12+2n)π、すなわち(4n−1)π≦θ≦(4n+1)πのときcosθ2≧0なので
cosθ2=√1+cosθ2
(12+2n)π<θ2<(32+2n)π、すなわち(4n+1)π<θ<(4n+3)πのときcosθ2<0なので
cosθ2=−√1+cosθ2
となります。
したがって、0≦θ<2πにおいてcosθ2の値は0≦θ≦πで0以上、π<θ<2πで負となります。
tanの半角の公式
tanθ2は三角関数の相互関係tanθ=sinθcosθより
tanθ2=sinθ2cosθ2
と表せ、両辺を2乗すると
tan2θ2=sin2θ2cos2θ2
となります。sin,cosの半角の公式より
tan2θ2=1−cosθ21+cosθ2∴tan2θ2=1−cosθ1+cosθ
これがtanの半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
tanθ2=±√1−cosθ1+cosθ
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいてnπ≦θ2<(12+n)π、すなわち2nπ≦θ<(2n+1)πのときtanθ2≧0なので
tanθ2=√1−cosθ1+cosθ
(12+n)π<θ2<(1+n)π、すなわち(2n+1)π<θ<2(n+1)πのときtanθ2<0なので
tanθ2=−√1−cosθ1+cosθ
となります。
したがって、0≦θ<2πにおいてtanθ2の値は0≦θ<πで0以上、π<θ<2πで負となります。
さらにtanθ2の式は変形ができます。
平方根の計算法則より
tanθ2=±√1−cosθ1+cosθ=±√1−cosθ√1+cosθ
となります。
分母と分子に√1+cosθを掛けると(ただし√1+cosθ≠0、すなわちθ≠(2n+1)π)
tanθ2=±√1−cosθ√1+cosθ⋅√1+cosθ√1+cosθ=±√1−cos2θ√(1+cosθ)2=±√1−cos2θ|1+cosθ|
三角関数の相互関係sin2θ+cos2θ=1よりsin2θ=1−cos2θなので
tanθ2=±√sin2θ|1+cosθ|=±|sinθ||1+cosθ|
1+cosθはすべての実数θで0以上となるので
ここで、変形の条件により除かれたθ=(2n+1)πのとき
tanθ2=±|sinθ|1+cosθ
となります。ここで、変形の条件により除かれたθ=(2n+1)πのとき
tan(2n+1)π2=tan(π2+nπ)
で、これはすべての整数nでtanの値が定義されていないので、この条件によってtanθ2のとる値から欠けるものはないことがわかります。
tanθ2≧0となる2nπ≦θ<(2n+1)πにおいてsinθ≧0なので
tanθ2=sinθ1+cosθ
tanθ2<0となる(2n+1)π<θ<2(n+1)πにおいてsinθ<0なので
tanθ2=−−sinθ1+cosθ=sinθ1+cosθ
となります。
したがって、tanθ2の値を定義できるすべての実数θで
tanθ2=sinθ1+cosθ
と表せます。
以上より、2乗の形で表される半角の公式は
sin2θ2=1−cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1−cosθ1+cosθ
2乗していない形で表される半角の公式は
sinθ2=±√1−cosθ2cosθ2=±√1+cosθ2tanθ2=±√1−cosθ1+cosθ=sinθ1+cosθ
となります。
半角の公式は2乗した形のほうが±も√ もつかないすっきりした式になっています。
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