\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。
$\sin$の半角の公式
$\sin$の半角の公式は$\text{(a)}\ \cos2θ=1-2\sin^2θ$を利用して導きます。
$θ$を$\dfrac{θ}{2}$に置き換えると
\begin{align*}\cos\left(2\cdot\frac{\theta}{2}\right)&=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[0.5em]\cos\theta&=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[0.5em]2\sin^2\frac{\theta}{2}&=1-\cos\theta\\[0.5em]\therefore\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\end{align*}
これが$\sin$の半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
\[\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\]
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数$n$をもちいて$2n\pi\leqq\dfrac{θ}{2}\leqq(2n+1)\pi$、すなわち$4n\pi\leqqθ\leqq2(2n+1)\pi$のとき$\sin\dfrac{θ}{2}\geqq0$なので
\[\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\]
$(2n-1)\pi<\dfrac{θ}{2}<2n\pi$、すなわち$2(2n-1)\pi<θ<4n\pi$のとき$\sin\dfrac{θ}{2}<0$なので
\[\sin\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\]
と表されます。
したがって、$0\leqqθ<2\pi$においては$\sin\dfrac{θ}{2}$の値は常に$0$以上となります。
$\cos$の半角の公式
$\cos$の半角の公式は$\text{(b)}\ \cos2θ=2\cos^2θ-1$を利用して導きます。
$θ$を$\dfrac{θ}{2}$に置き換えると
\begin{align*}\cos\left(2\cdot\frac{\theta}{2}\right)&=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\\[0.5em]\cos\theta&=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\\[0.5em]2\cos^2\frac{\theta}{2}&=1+\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\end{align*}
これが$\cos$の半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
\[\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\]
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数$n$をもちいて$\left(-\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi\leqq\dfrac{θ}{2}\leqq\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi$、すなわち$(4n-1)\pi\leqqθ\leqq(4n+1)\pi$のとき$\cos\dfrac{θ}{2}\geqq0$なので
\[\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\]
$\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi<\dfrac{θ}{2}<\left(\dfrac{3}{2}+2n\right)\pi$、すなわち$(4n+1)\pi<θ<(4n+3)\pi$のとき$\cos\dfrac{θ}{2}<0$なので
\[\cos\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\]
となります。
したがって、$0\leqqθ<2\pi$において$\cos\dfrac{θ}{2}$の値は$0\leqqθ\leqq\pi$で$0$以上、$\pi<θ<2\pi$で負となります。
$\tan$の半角の公式
$\tan\dfrac{θ}{2}$は三角関数の相互関係$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$より
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\cfrac{\theta}{2}}{\cos\cfrac{\theta}{2}}\]
と表せ、両辺を2乗すると
\[\tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{\sin^2\cfrac{\theta}{2}}{\cos^2\cfrac{\theta}{2}}\]
となります。$\sin,\cos$の半角の公式より
\begin{align*}\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{\cfrac{1-\cos\theta}{2}}{\cfrac{1+\cos\theta}{2}}\\[0.5em]\therefore\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これが$\tan$の半角の公式となります。
また、両辺の平方根をとると
\[\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\]
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数$n$をもちいて$n\pi\leqq\dfrac{θ}{2}<\left(\dfrac{1}{2}+n\right)\pi$、すなわち$2n\pi\leqqθ<(2n+1)\pi$のとき$\tan\dfrac{θ}{2}\geqq0$なので
\[\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\]
$\left(\dfrac{1}{2}+n\right)\pi<\dfrac{θ}{2}<(1+n)\pi$、すなわち$(2n+1)\pi<θ<2(n+1)\pi$のとき$\tan\dfrac{θ}{2}<0$なので
\[\tan\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\]
となります。
したがって、$0\leqqθ<2\pi$において$\tan\dfrac{θ}{2}$の値は$0\leqqθ<\pi$で$0$以上、$\pi<θ<2\pi$で負となります。
さらに$\tan\dfrac{θ}{2}$の式は変形ができます。
平方根の計算法則より
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\end{align*}
となります。
分母と分子に$\sqrt{1+\cosθ}$を掛けると（ただし$\sqrt{1+\cosθ}\neq0$、すなわち$θ\neq(2n+1)\pi$）
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\cdot\frac{\sqrt{1+\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\sqrt{(1+\cos\theta)^2}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{|1+\cos\theta|}\end{align*}
三角関数の相互関係$\sin^2θ+\cos^2θ=1$より$\sin^2θ=1-\cos^2θ$なので
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\frac{\sqrt{\sin^2\theta}}{|1+\cos\theta|}\\[0.5em]&=\pm\frac{|\sin\theta|}{|1+\cos\theta|}\end{align*}
$1+\cosθ$はすべての実数$θ$で$0$以上となるので
ここで、変形の条件により除かれた$θ=(2n+1)\pi$のとき
\[\tan\frac{\theta}{2}=\pm\frac{|\sin\theta|}{1+\cos\theta}\]
となります。ここで、変形の条件により除かれた$θ=(2n+1)\pi$のとき
\[\tan\frac{(2n+1)\pi}{2}=\tan\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\]
で、これはすべての整数$n$で$\tan$の値が定義されていないので、この条件によって$\tan\dfrac{θ}{2}$のとる値から欠けるものはないことがわかります。
$\tan\dfrac{θ}{2}\geqq0$となる$2n\pi\leqqθ<(2n+1)\pi$において$\sinθ\geqq0$なので
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
$\tan\dfrac{θ}{2}<0$となる$(2n+1)\pi<θ<2(n+1)\pi$において$\sinθ<0$なので
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=-\frac{-\sin\theta}{1+\cos\theta}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
となります。
したがって、$\tan\dfrac{θ}{2}$の値を定義できるすべての実数$θ$で
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
と表せます。
以上より、2乗の形で表される半角の公式は
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
2乗していない形で表される半角の公式は
\begin{align*}\sin\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\\[1em]\cos\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\\[1em]\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
となります。
半角の公式は2乗した形のほうが$\pm$も$\sqrt{\ }$もつかないすっきりした式になっています。
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