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2023年11月27日

三角関数 半角の公式

sin2θ2=1cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1cosθ1+cosθsin2θ2=1cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1cosθ1+cosθ
 これら三角関数の半角の公式は、coscosの2倍角の公式
cos2θ=12sin2θ=2cos2θ1cos2θ=12sin2θ=2cos2θ1(a)(b)
を利用して導くことができます。

sinsinの半角の公式

 sinsinの半角の公式は(a) cos2θ=12sin2θ(a) cos2θ=12sin2θを利用して導きます。
θθθ2θ2に置き換えると
cos(2θ2)=12sin2θ2cosθ=12sin2θ22sin2θ2=1cosθsin2θ2=1cosθ2
これがsinの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
sinθ2=±1cosθ2
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて2nπθ2(2n+1)π、すなわち4nπθ2(2n+1)πのときsinθ20なので
sinθ2=1cosθ2
(2n1)π<θ2<2nπ、すなわち2(2n1)π<θ<4nπのときsinθ2<0なので
sinθ2=1cosθ2
と表されます。
したがって、0θ<2πにおいてはsinθ2の値は常に0以上となります。

cosの半角の公式

 cosの半角の公式は(b) cos2θ=2cos2θ1を利用して導きます。
θθ2に置き換えると
cos(2θ2)=2cos2θ21cosθ=2cos2θ212cos2θ2=1+cosθcos2θ2=1+cosθ2
これがcosの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
cosθ2=±1+cosθ2
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて(12+2n)πθ2(12+2n)π、すなわち(4n1)πθ(4n+1)πのときcosθ20なので
cosθ2=1+cosθ2
(12+2n)π<θ2<(32+2n)π、すなわち(4n+1)π<θ<(4n+3)πのときcosθ2<0なので
cosθ2=1+cosθ2
となります。
したがって、0θ<2πにおいてcosθ2の値は0θπ0以上、π<θ<2πで負となります。

tanの半角の公式

 tanθ2は三角関数の相互関係tanθ=sinθcosθより
tanθ2=sinθ2cosθ2
と表せ、両辺を2乗すると
tan2θ2=sin2θ2cos2θ2
となります。sin,cosの半角の公式より
tan2θ2=1cosθ21+cosθ2tan2θ2=1cosθ1+cosθ
これがtanの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
tanθ2=±1cosθ1+cosθ
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいてnπθ2<(12+n)π、すなわち2nπθ<(2n+1)πのときtanθ20なので
tanθ2=1cosθ1+cosθ
(12+n)π<θ2<(1+n)π、すなわち(2n+1)π<θ<2(n+1)πのときtanθ2<0なので
tanθ2=1cosθ1+cosθ
となります。
したがって、0θ<2πにおいてtanθ2の値は0θ<π0以上、π<θ<2πで負となります。

 さらにtanθ2の式は変形ができます。
平方根の計算法則より
tanθ2=±1cosθ1+cosθ=±1cosθ1+cosθ
となります。
分母と分子に1+cosθを掛けると(ただし1+cosθ0、すなわちθ(2n+1)π
tanθ2=±1cosθ1+cosθ1+cosθ1+cosθ=±1cos2θ(1+cosθ)2=±1cos2θ|1+cosθ|
三角関数の相互関係sin2θ+cos2θ=1よりsin2θ=1cos2θなので
tanθ2=±sin2θ|1+cosθ|=±|sinθ||1+cosθ|
1+cosθはすべての実数θ0以上となるので
tanθ2=±|sinθ|1+cosθ
となります。
ここで、変形の条件により除かれたθ=(2n+1)πのとき
tan(2n+1)π2=tan(π2+nπ)
で、これはすべての整数ntanの値が定義されていないので、この条件によってtanθ2のとる値から欠けるものはないことがわかります。
tanθ20となる2nπθ<(2n+1)πにおいてsinθ0なので
tanθ2=sinθ1+cosθ
tanθ2<0となる(2n+1)π<θ<2(n+1)πにおいてsinθ<0なので
tanθ2=sinθ1+cosθ=sinθ1+cosθ
となります。
したがって、tanθ2の値を定義できるすべての実数θ
tanθ2=sinθ1+cosθ
と表せます。

 以上より、2乗の形で表される半角の公式は
sin2θ2=1cosθ2cos2θ2=1+cosθ2tan2θ2=1cosθ1+cosθ
2乗していない形で表される半角の公式は
sinθ2=±1cosθ2cosθ2=±1+cosθ2tanθ2=±1cosθ1+cosθ=sinθ1+cosθ
となります。
半角の公式は2乗した形のほうが± もつかないすっきりした式になっています。

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