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2023年11月27日

三角関数 半角の公式

\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
 これら三角関数の半角の公式は、\cosの2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。

\sinの半角の公式

 \sinの半角の公式は\text{(a)}\ \cos2θ=1-2\sin^2θを利用して導きます。
θ\dfrac{θ}{2}に置き換えると
\begin{align*}\cos\left(2\cdot\frac{\theta}{2}\right)&=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[0.5em]\cos\theta&=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[0.5em]2\sin^2\frac{\theta}{2}&=1-\cos\theta\\[0.5em]\therefore\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\end{align*}
これが\sinの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて2n\pi\leqq\dfrac{θ}{2}\leqq(2n+1)\pi、すなわち4n\pi\leqqθ\leqq2(2n+1)\piのとき\sin\dfrac{θ}{2}\geqq0なので
\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
(2n-1)\pi<\dfrac{θ}{2}<2n\pi、すなわち2(2n-1)\pi<θ<4n\piのとき\sin\dfrac{θ}{2}<0なので
\sin\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
と表されます。
したがって、0\leqqθ<2\piにおいては\sin\dfrac{θ}{2}の値は常に0以上となります。

\cosの半角の公式

 \cosの半角の公式は\text{(b)}\ \cos2θ=2\cos^2θ-1を利用して導きます。
θ\dfrac{θ}{2}に置き換えると
\begin{align*}\cos\left(2\cdot\frac{\theta}{2}\right)&=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\\[0.5em]\cos\theta&=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\\[0.5em]2\cos^2\frac{\theta}{2}&=1+\cos\theta\\[0.5em]\therefore\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\end{align*}
これが\cosの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいて\left(-\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi\leqq\dfrac{θ}{2}\leqq\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi、すなわち(4n-1)\pi\leqqθ\leqq(4n+1)\piのとき\cos\dfrac{θ}{2}\geqq0なので
\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi<\dfrac{θ}{2}<\left(\dfrac{3}{2}+2n\right)\pi、すなわち(4n+1)\pi<θ<(4n+3)\piのとき\cos\dfrac{θ}{2}<0なので
\cos\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
となります。
したがって、0\leqqθ<2\piにおいて\cos\dfrac{θ}{2}の値は0\leqqθ\leqq\pi0以上、\pi<θ<2\piで負となります。

\tanの半角の公式

 \tan\dfrac{θ}{2}は三角関数の相互関係\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}より
\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\cfrac{\theta}{2}}{\cos\cfrac{\theta}{2}}
と表せ、両辺を2乗すると
\tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{\sin^2\cfrac{\theta}{2}}{\cos^2\cfrac{\theta}{2}}
となります。\sin,\cosの半角の公式より
\begin{align*}\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{\cfrac{1-\cos\theta}{2}}{\cfrac{1+\cos\theta}{2}}\\[0.5em]\therefore\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これが\tanの半角の公式となります。

 また、両辺の平方根をとると
\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}
となるので、正負どちらの値をとるのかに注意する必要が出てきます。
任意の整数nをもちいてn\pi\leqq\dfrac{θ}{2}<\left(\dfrac{1}{2}+n\right)\pi、すなわち2n\pi\leqqθ<(2n+1)\piのとき\tan\dfrac{θ}{2}\geqq0なので
\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}
\left(\dfrac{1}{2}+n\right)\pi<\dfrac{θ}{2}<(1+n)\pi、すなわち(2n+1)\pi<θ<2(n+1)\piのとき\tan\dfrac{θ}{2}<0なので
\tan\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}
となります。
したがって、0\leqqθ<2\piにおいて\tan\dfrac{θ}{2}の値は0\leqqθ<\pi0以上、\pi<θ<2\piで負となります。

 さらに\tan\dfrac{θ}{2}の式は変形ができます。
平方根の計算法則より
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\end{align*}
となります。
分母と分子に\sqrt{1+\cosθ}を掛けると(ただし\sqrt{1+\cosθ}\neq0、すなわちθ\neq(2n+1)\pi
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\cdot\frac{\sqrt{1+\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\sqrt{(1+\cos\theta)^2}}\\[0.5em]&=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{|1+\cos\theta|}\end{align*}
三角関数の相互関係\sin^2θ+\cos^2θ=1より\sin^2θ=1-\cos^2θなので
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\frac{\sqrt{\sin^2\theta}}{|1+\cos\theta|}\\[0.5em]&=\pm\frac{|\sin\theta|}{|1+\cos\theta|}\end{align*}
1+\cosθはすべての実数θ0以上となるので
\tan\frac{\theta}{2}=\pm\frac{|\sin\theta|}{1+\cos\theta}
となります。
ここで、変形の条件により除かれたθ=(2n+1)\piのとき
\tan\frac{(2n+1)\pi}{2}=\tan\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)
で、これはすべての整数n\tanの値が定義されていないので、この条件によって\tan\dfrac{θ}{2}のとる値から欠けるものはないことがわかります。
\tan\dfrac{θ}{2}\geqq0となる2n\pi\leqqθ<(2n+1)\piにおいて\sinθ\geqq0なので
\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}
\tan\dfrac{θ}{2}<0となる(2n+1)\pi<θ<2(n+1)\piにおいて\sinθ<0なので
\begin{align*}\tan\frac{\theta}{2}&=-\frac{-\sin\theta}{1+\cos\theta}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
となります。
したがって、\tan\dfrac{θ}{2}の値を定義できるすべての実数θ
\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}
と表せます。

 以上より、2乗の形で表される半角の公式は
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
2乗していない形で表される半角の公式は
\begin{align*}\sin\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\\[1em]\cos\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\\[1em]\tan\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
となります。
半角の公式は2乗した形のほうが\pm\sqrt{\ }もつかないすっきりした式になっています。

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