公倍数は最小公倍数の倍数？ ~ 数学について考えてみる

2023年11月9日

PLUMBAGO

　なぜ公倍数は最小公倍数の倍数となるのでしょうか？

　2つの自然数

A, B

$A,B$ の場合で考えてみます。

2つの自然数

A, B

$A,B$ の最大公約数を

G

$G$ とするとそれぞれ

\begin{aligned} (1) & A & = a G \\ (2) & B & = b G \\ (a, b : 互 い に 素 な 自 然 数) \end{aligned}

$\begin{align*}A&=aG\tag1\\[1em]B&=bG\tag2\\ &&(a,b:互いに素な自然数)\end{align*}$

となります。

$A$ の倍数を自然数 $M$ をもちいて $AM$ 、 $B$ の倍数を自然数 $N$ をもちいて $BN$ で表すとすると、 $A$ と $B$ の公倍数は
$AM=BN$
が成り立つ数であるといえます。

この式を

(1), (2)

$(1),(2)$ を利用して変形すると

\begin{aligned} a G M & = b G N \\ a M & = b N \end{aligned}

$\begin{align*}aGM&=bGN\\[0.5em]aM&=bN\end{align*}$

となります。

a, b

$a,b$ は互いに素なので、この等式が成り立つ条件は

\begin{aligned} M & = b k \\ N & = a k \\ (k : 任 意 の 自 然 数) \end{aligned}

$\begin{align*}M&=bk\\[1em]N&=ak\\ &&(k:任意の自然数)\end{align*}$

となるため、

A

$A$ と

B

$B$ の公倍数は

a b G k

$abGk$ と表せることがわかります。

$k=1$ のときの $A$ と $B$ の公倍数は $abG$ で、これは最小公倍数です。すると、 $k\geqq2$ のときの公倍数はいずれも最小公倍数 $abG$ の自然数倍なので、公倍数は最小公倍数の倍数であることがわかります。
これは3つ以上の自然数の公倍数でも同様です。

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