公倍数は最小公倍数の倍数？

　なぜ公倍数は最小公倍数の倍数となるのでしょうか？

　2つの自然数$A,B$の場合で考えてみます。

2つの自然数$A,B$の最大公約数を$G$とするとそれぞれ

$$\begin{align*}A&=aG\tag1\\[1em]B&=bG\tag2\\ &&(a,b:互いに素な自然数)\end{align*}$$

となります。

関連：互いに素とは？

$A$の倍数を自然数$M$をもちいて$AM$、$B$の倍数を自然数$N$をもちいて$BN$で表すとすると、$A$と$B$の公倍数は

$$AM=BN$$
が成り立つ数であるといえます。

この式を$(1),(2)$を利用して変形すると

$$\begin{align*}aGM&=bGN\\[0.5em]aM&=bN\end{align*}$$

となります。

$a,b$は互いに素なので、この等式が成り立つ条件は

$$\begin{align*}M&=bk\\[1em]N&=ak\\ &&(k:任意の自然数)\end{align*}$$

となるため、$A$と$B$の公倍数は$abGk$と表せることがわかります。

$k=1$のときの$A$と$B$の公倍数は$abG$で、これは最小公倍数です。すると、$k\geqq2$のときの公倍数はいずれも最小公倍数$abG$の自然数倍なので、公倍数は最小公倍数の倍数であることがわかります。
これは3つ以上の自然数の公倍数でも同様です。

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