なぜ公倍数は最小公倍数の倍数となるのでしょうか?
2つの自然数A,BA,Bの場合で考えてみます。
2つの自然数A,BA,Bの最大公約数をGGとするとそれぞれ
A=aGB=bG(a,b:互いに素な自然数)
となります。
Aの倍数を自然数MをもちいてAM、Bの倍数を自然数NをもちいてBNで表すとすると、AとBの公倍数は
AM=BN
が成り立つ数であるといえます。
この式を(1),(2)を利用して変形すると
aGM=bGNaM=bN
となります。a,bは互いに素なので、この等式が成り立つ条件は
M=bkN=ak(k:任意の自然数)
となるため、AとBの公倍数はabGkと表せることがわかります。
k=1のときのAとBの公倍数はabGで、これは最小公倍数です。すると、k≧2のときの公倍数はいずれも最小公倍数abGの自然数倍なので、公倍数は最小公倍数の倍数であることがわかります。
これは3つ以上の自然数の公倍数でも同様です。
Share: