整式の割り算と余りの例題

　整式の割り算の問題を作ってみました。

「$8x^3+x^2+6x+2$を$P_{(x)}$で割ったところ、商が$8x+1$、余りが$ax+b$となった。
$a+b=17$であるとき、$P_{(x)},a,b$を求めよ。」

という問題をどのように解けばよいかを考えていこうと思います。

方針

　この問題をどのように解くかの方針としては、方程式にすると

$$\begin{equation}8x^3+x^2+6x+2=(8x+1)P_{(x)}+ax+b\end{equation}$$

と表されます。

これは、13を4で割ると商が3、余りが1になることを
$$13=4×3+1$$
と書けるのと同じです。

割る式は$8x^3+x^2+6x+2$を$P_{(x)}$で割って(1)の方程式が得られたのなら、逆に商の$8x+1$で割ってみれば(1)のような式が得られるはずなので、それを変形することができれば答えに近づきそうです。

解法

　$8x^3+x^2+6x+2$を$8x+1$で割ると、

上の筆算のように商が$x^2$、余りが$6x+2$と出ます。本来余りは割る式より低い次数とするものですが、これ以上割り算をすると整数ではない係数が出てくるため解きやすさのためにここで割り算を終わります。

これが答えかというと違います。条件に$a+b=17$とありますが、余りの係数の和は$8$です。

答えを導くにはもう少し作業が要ります。

　上の結果を方程式にすると、
$$\begin{equation}8x^3+x^2+6x+2=(8x+1)x^2+6x+2\end{equation}$$
となります。

　ここで右辺の$x^2$が$x^2+1$となったら、(2)の方程式はどうなるでしょう？

$$(8x+1)(x^2+1)=(8x+1)x^2+8x+1$$

なので、$x^2$を$x^2+1$に変える代わりに$8x+1$を引くことで(2)の左辺と等しくできます。

$$\begin{equation}\begin{aligned}&8x^3+x^2+6x+2\\ =&(8x+1)(x^2+1)-(8x+1)+6x+2\\ =&(8x+1)(x^2+1)-2x+1\end{aligned}\end{equation}$$

また、右辺の$x^2$を$x^2+2$にすると、
$$\begin{equation}8x^3+x^2+6x+2=(8x+1)(x^2+2)-10x\end{equation}$$
となります。
(2),(3),(4)から、右辺の$x^2$を$x^2+n\quad(n:整数)$にした時の方程式は、
$$\begin{equation}8x^3+x^2+6x+2=(8x+1)(x^2+n)+(6-8n)x+2-n\end{equation}$$
となることがわかります。

　(1)と(5)の余りの部分に着目して、$a+b=17$という条件より、

$$(6-8n)+(2-n)=17$$

これを解くと

$$n=-1$$

が得られるので、(5)に代入します。

$$\begin{equation}8x^3+x^2+6x+2=(8x+1)(x^2-1)+14x+3\end{equation}$$

(1)と(6)より、

$$P_{(x)}=x^2-1,a=14,b=3$$

と求めることができました。