指数関数の大小関係、対数関数の大小関係

　指数関数と対数関数の大小関係は、底がどんな値を取るのかで変わります。

指数関数の大小関係

指数関数$a^x$を底$a$の値で場合分けすると

• $0<a<1$のとき
• $a=1$のとき(※)
• $1<a$のとき

の3通りあります。

$0<a<1$のとき

　具体例を挙げると$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$のように底が1より小さい場合です。
この場合$x$を大きくすると$a^x$は小さくなっていきます。

$x=1$と$x=3$のときで比較すれば

\[\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3}>\frac{1}{27}=\left(\frac{1}{3}\right)^3\]

となることからもわかります。

したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large a^m>a^n\end{align*}
が成り立ちます。

$a=1$のとき

　$1$のべき乗はいずれも$1$になるので

\begin{align*}a=1,\quad &m<nのとき\\ &\Large a^m=a^n\end{align*}

が成り立ちます。

※$a=1$のときは$x$によらず定数になってしまうので、このときは指数関数とは呼べません。

$1<a$のとき

　具体例を挙げると$3^x$のように底が1より大きい場合です。
この場合$x$を大きくすると$a^x$も大きくなります。

$x=1$と$x=3$のときで比較すれば

\[3^1=3<27=3^3\]

となることからもわかります。

したがって、
\begin{align*}1<a,\quad &m<nのとき\\ &\Large a^m<a^n\end{align*}
が成り立ちます。

対数関数の大小関係

　対数関数$\log_a{x}$を底$a$の値で場合分けすると

• $0<a<1$のとき
• $1<a$のとき

の2通りあります。

$0<a<1$のとき

　具体例として指数関数$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$の対数をとると
\[\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^x}=x\]
となります。
前述より$0<a<1$のとき$x$を大きくすると$a^x$は小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。

$x=1$と$x=3$のときで比較すれば

\[\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=1<3=\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{27}}\]

となることからもわかります。

したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large \log_a{m}>\log_a{n}\end{align*}
が成り立ちます。

$1<a$のとき

　具体例として指数関数$3^x$の対数をとると
\[\log_3{3^x}=x\]
となります。
前述より$1<a$のとき$x$を大きくすると$a^x$も大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。

$x=1$と$x=3$のときで比較すれば

\[\log_3{3}=1<3=\log_3{27}\]

となることからもわかります。

したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large \log_a{m}<\log_a{n}\end{align*}
が成り立ちます。