指数関数と対数関数の大小関係は、底がどんな値を取るのかで変わります。
指数関数の大小関係
指数関数a^xを底aの値で場合分けすると
- 0<a<1のとき
- a=1のとき(※)
- 1<aのとき
0<a<1のとき
具体例を挙げると\left(\dfrac{1}{3}\right)^xのように底が1より小さい場合です。
この場合xを大きくするとa^xは小さくなっていきます。
x=1とx=3のときで比較すれば
\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3}>\frac{1}{27}=\left(\frac{1}{3}\right)^3
となることからもわかります。
したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large
a^m>a^n\end{align*}
が成り立ちます。
a=1のとき
1のべき乗はいずれも1になるので
\begin{align*}a=1,\quad &m<nのとき\\ &\Large
a^m=a^n\end{align*}
が成り立ちます。
a=1のときはxによらず一定となってしまいます。
1<aのとき
具体例を挙げると3^xのように底が1より大きい場合です。
この場合xを大きくするとa^xも大きくなります。
x=1とx=3のときで比較すれば
3^1=3<27=3^3
となることからもわかります。
したがって、
\begin{align*}1<a,\quad &m<nのとき\\ &\Large
a^m<a^n\end{align*}
が成り立ちます。
対数関数の大小関係
対数関数\log_a{x}を底aの値で場合分けすると
- 0<a<1のとき
- 1<aのとき
0<a<1のとき
具体例として指数関数\left(\dfrac{1}{3}\right)^xの対数をとると
前述より0<a<1のときxを大きくするとa^xは小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。
\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^x}=x
となります。前述より0<a<1のときxを大きくするとa^xは小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。
x=1とx=3のときで比較すれば
\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=1<3=\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{27}}
となることからもわかります。
したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large
\log_a{m}>\log_a{n}\end{align*}
が成り立ちます。
1<aのとき
具体例として指数関数3^xの対数をとると
前述より1<aのときxを大きくするとa^xも大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。
\log_3{3^x}=x
となります。前述より1<aのときxを大きくするとa^xも大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。
x=1とx=3のときで比較すれば
\log_3{3}=1<3=\log_3{27}
となることからもわかります。
したがって、
\begin{align*}0<a<1,\quad &m<nのとき\\ &\Large
\log_a{m}<\log_a{n}\end{align*}
が成り立ちます。
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