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2022年4月10日

指数関数の大小関係、対数関数の大小関係

 指数関数と対数関数の大小関係は、底がどんな値を取るのかで変わります。


指数関数の大小関係

指数関数axaxを底aaの値で場合分けすると
  • 0<a<10<a<1のとき
  • a=1a=1のとき(※)
  • 1<a1<aのとき
の3通りあります。

0<a<10<a<1のとき

 具体例を挙げると(13)x(13)xのように底が1より小さい場合です。
この場合xxを大きくするとaxaxは小さくなっていきます。

x=1x=1x=3x=3のときで比較すれば
(13)1=13>127=(13)3(13)1=13>127=(13)3
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nam>an0<a<1,m<nam>an
が成り立ちます。

a=1a=1のとき

 11のべき乗はいずれも11になるので
a=1,m<nam=ana=1,m<nam=an
が成り立ちます。
a=1a=1のときはxxによらず一定となってしまいます。

1<a1<aのとき

 具体例を挙げると3x3xのように底が1より大きい場合です。
この場合xxを大きくするとaxaxも大きくなります。

x=1x=1x=3x=3のときで比較すれば
31=3<27=3331=3<27=33
となることからもわかります。
したがって、
1<a,m<nam<an1<a,m<nam<an
が成り立ちます。

対数関数の大小関係

 対数関数logaxlogaxを底aaの値で場合分けすると
  • 0<a<10<a<1のとき
  • 1<a1<aのとき
の2通りあります。

0<a<10<a<1のとき

 具体例として指数関数(13)x(13)xの対数をとると
log13(13)x=xlog13(13)x=x
となります。
前述より0<a<10<a<1のときxxを大きくするとaxaxは小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。
x=1x=1x=3x=3のときで比較すれば
log1313=1<3=log13127log1313=1<3=log13127
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nlogam>logan0<a<1,m<nlogam>logan
が成り立ちます。

1<a1<aのとき

 具体例として指数関数3xの対数をとると
log33x=x
となります。
前述より1<aのときxを大きくするとaxも大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。
x=1x=3のときで比較すれば
log33=1<3=log327
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nlogam<logan
が成り立ちます。

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