指数関数と対数関数の大小関係は、底がどんな値を取るのかで変わります。
指数関数の大小関係
指数関数axaxを底aaの値で場合分けすると
- 0<a<10<a<1のとき
- a=1a=1のとき(※)
- 1<a1<aのとき
0<a<10<a<1のとき
具体例を挙げると(13)x(13)xのように底が1より小さい場合です。
この場合xxを大きくするとaxaxは小さくなっていきます。
x=1x=1とx=3x=3のときで比較すれば
(13)1=13>127=(13)3(13)1=13>127=(13)3
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nのときam>an0<a<1,m<nのときam>an
が成り立ちます。
a=1a=1のとき
11のべき乗はいずれも11になるので
a=1,m<nのときam=ana=1,m<nのときam=an
が成り立ちます。
a=1a=1のときはxxによらず一定となってしまいます。
1<a1<aのとき
具体例を挙げると3x3xのように底が1より大きい場合です。
この場合xxを大きくするとaxaxも大きくなります。
x=1x=1とx=3x=3のときで比較すれば
31=3<27=3331=3<27=33
となることからもわかります。
したがって、
1<a,m<nのときam<an1<a,m<nのときam<an
が成り立ちます。
対数関数の大小関係
対数関数logaxlogaxを底aaの値で場合分けすると
- 0<a<10<a<1のとき
- 1<a1<aのとき
0<a<10<a<1のとき
具体例として指数関数(13)x(13)xの対数をとると
前述より0<a<10<a<1のときxxを大きくするとaxaxは小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。
log13(13)x=xlog13(13)x=x
となります。前述より0<a<10<a<1のときxxを大きくするとaxaxは小さくなることから、上の式は真数が小さくなると対数は大きくなります。
x=1x=1とx=3x=3のときで比較すれば
log1313=1<3=log13127log1313=1<3=log13127
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nのときlogam>logan0<a<1,m<nのときlogam>logan
が成り立ちます。
1<a1<aのとき
具体例として指数関数3xの対数をとると
前述より1<aのときxを大きくするとaxも大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。
log33x=x
となります。前述より1<aのときxを大きくするとaxも大きくなることから、上の式は真数が大きくなると対数も大きくなります。
x=1とx=3のときで比較すれば
log33=1<3=log327
となることからもわかります。
したがって、
0<a<1,m<nのときlogam<logan
が成り立ちます。
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