csc(x)、sec(x)、cot(x)の微分

　$\csc x,\sec x,\cot x$はそれぞれ$\sin x,\cos x,\tan x$の逆数なので、商の微分

$$\begin{align*}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1em]\left\{\frac{1}{f(x)}\right\}'&=-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\end{align*}$$

を利用して求めます。

$\csc x$の微分

$$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

なので、商の微分を利用して

$$\begin{align*}(\csc x)'&=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'\\[0.5em]&=-\frac{(\sin x)'}{\sin^2x}\\[0.5em]&=-\frac{\cos x}{\sin^2x}\\[0.5em]&=-\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\frac{1}{\sin x}\\[0.5em]&=-\frac{\cot x}{\sin x}\\[0.5em]&=-\cot x\csc x\end{align*}$$

となります。

$\sec x$の微分

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$

なので、商の微分を利用して

$$\begin{align*}(\sec x)'&=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'\\[0.5em]&=-\frac{(\cos x)'}{\cos^2x}\\[0.5em]&=-\frac{-\sin x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\sin x}{\cos^2x}\\[0.5em]&=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\[0.5em]&=\frac{\tan x}{\cos x}\\[0.5em]&=\tan x\sec x\end{align*}$$

となります。

$\cot x$の微分

$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

なので、商の微分を利用して

$$\begin{align*}(\cot x)'&=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'\\[0.5em]&=\frac{(\cos x)'\sin x-\cos x(\sin x)'}{\sin^2x}\\[0.5em]&=\frac{(-\sin x)\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^2x}\\[0.5em]&=\frac{-(\sin^2x+\cos^2x)}{\sin^2x}\\[0.5em]&=-\frac{1}{\sin^2x}\\[0.5em]&=-\left(\frac{1}{\sin x}\right)^2\\[0.5em]&=-\csc^2x\end{align*}$$

となります。