2次方程式のように解く方程式

　2次方程式ではないですが2次方程式の解き方で解を求めることができる方程式の例を4つ挙げてみました。

「次の方程式を実数の範囲で解け。

(1)$\large\cos^2θ-\cosθ-\dfrac{3}{4}=0\ (0\leqqθ<2\pi)$

(2)$\large(\log_2x)^2-\log_2x^2-3=0$

(3)$\large5^{2x}-5^{x+1}-50=0$

(4)$\large x+2\sqrt{x}-8=0$」

　これらの方程式に使われている三角関数、指数関数などには、とりうる値の範囲が存在するので、範囲に注意して解を求めます。

(1)三角方程式

　$\cosθ=t$とおくと

$$t^2-t-\frac{3}{4}=0$$

両辺を4倍して

$$\begin{align*}4t^2-4t-3&=0\\[0.5em](2t+1)(2t-3)&=0\\[0.5em]t=\cosθ&=-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\end{align*}$$

ここで、$-1\leqq\cosθ\leqq1$なので$\dfrac{3}{2}$は不適。

$\cosθ=-\dfrac{1}{2}$を満たす$θ$は

$$θ=\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi$$

となります。

関連：三角関数を含む方程式

(2)対数方程式

　対数の計算法則

$$\log_a N^p=p\log_a N$$

関連：対数の計算法則

より、$\log_2 x^2=2\log_2 x$なので

$$(\log_2 x)^2-2\log_2 x-3=0$$

$\log_2 x=t$とおくと

$$\begin{align*}t^2-2t-3&=0\\[0.5em](t+1)(t-3)&=0\\[0.5em]t=\log_2 x&=-1,3\end{align*}$$

$\log_2 x=-1$の場合

$\log_2 2=1$なので

$$\begin{align*}\log_2 x&=-1×1\\[0.5em]&=-1\log_2 2\\[0.5em]&=\log_2 2^{-1}\\[0.5em]&=\log_2 \frac{1}{2}\\[0.5em]x&=\frac{1}{2}\end{align*}$$

$\log_2 x=3$の場合

$$\begin{align*}\log_2 x&=3×1\\[0.5em]&=3\log_2 2\\[0.5em]&=\log_2 2^3\\[0.5em]&=\log_2 8\\[0.5em]x&=8\end{align*}$$

よって

$$x=\frac{1}{2},8$$

となります。

(3)指数方程式

　指数の計算法則

$$\begin{align*}X^a\cdot X^b&=X^{a+b}\\[0.5em](X^a)^p&=X^{ap}\end{align*}$$

関連：指数の計算法則

より、$5^{2x}=(5^x)^2,\ 5^{x+1}=5\cdot5^x$なので

$$(5^x)^2-5\cdot5^x-50=0$$

$5^x=t$とおくと

$$\begin{align*}t^2-5t-50&=0\\[0.5em](t+5)(t-10)&=0\\[0.5em]t=5^x&=-5,10\end{align*}$$

ここで、$5^x>0$なので$-5$は不適。

$5^x=10$の両辺の対数をとると

$$\begin{align*}\log_5 5^x&=\log_5 10\\[0.5em]x\log_5 5&=\log_5 (2\cdot5)\\[0.5em]x&=\log_5 2+\log_5 5\\[0.5em]x&=1+\log_5 2\end{align*}$$

となります。

関連：指数に変数がある方程式　指数方程式

(4)根号を含む方程式

　$x=(\pm\sqrt{x})^2$であることを考えると

$x=(\sqrt{x})^2$と考えたとき

$$(\sqrt{x})^2+2\sqrt{x}-8=0$$

$\sqrt{x}=t$とおくと

$$\begin{align*}t^2+2t-8&=0\\[0.5em](t+4)(t-2)&=0\\[0.5em]t=\sqrt{x}&=-4,2\end{align*}$$

ここで、$\sqrt{x}\geqq0$なので$-4$は不適。

したがって、

$$\begin{align*}\sqrt{x}&=2\\[0.5em]x&=4\end{align*}$$

$x=(-\sqrt{x})^2$と考えたとき

$$(-\sqrt{x})^2+2\sqrt{x}-8=0$$

$-\sqrt{x}=t$とおくと

$$\begin{align*}t^2-2t-8&=0\\[0.5em](t+2)(t-4)&=0\\[0.5em]t=-\sqrt{x}&=-2,4\end{align*}$$

ここで、$-\sqrt{x}\leqq0$なので$4$は不適。

したがって、

$$\begin{align*}-\sqrt{x}&=-2\\[0.5em]\sqrt{x}&=2\\[0.5em]x&=4\end{align*}$$

よって、

$$x=4$$

となります。

関連：2次方程式を解く(1)

関連：2次不等式のように解く不等式