正四面体の頂点から対面におろした垂線はどこで交わる？

　正四面体の頂点から対面へ垂線をおろすと対面のどこと交わるでしょうか？

　正四面体A-BCDの頂点Aから対面BCDへおろした垂線の足をHとします。

△ABH、△ACH、△ADHについて考えます。
正四面体なので、$AB=AC=AD$で、$AD$は共通する辺です。
垂線$AH$は面BCDに対し垂直なので、$∠AHB=∠AHC=∠AHD=90°$
以上より、直角三角形の斜辺ともう1組の辺の長さがそれぞれ等しいので△ABH、△ACH、△ADHは合同です。

したがって、$BH=CH=DH$であることがわかります。

したがって、点Hは頂点B、C、Dから等距離の点であるため面BCDの外心であることがわかります。

また、面BCDは正三角形であるため点Hは内心、重心、垂心でもあります。