正四面体の頂点から対面におろした垂線はどこで交わる？

　正四面体の頂点から対面へ垂線をおろすと対面のどこと交わるでしょうか？

　正四面体$\text{A-BCD}$の頂点$\text{A}$から対面$\text{BCD}$へおろした垂線の足を$\text{H}$とします。

$△\text{ABH, }△\text{ACH, }△\text{ADH}$について考えます。

• 正四面体なので$\text{AB}=\text{AC}=\text{AD}$で、$\text{AD}$は共通する辺です。
• 垂線$\text{AH}$は面$\text{BCD}$に対し垂直なので、$∠\text{AHB}=∠\text{AHC}=∠\text{AHD}=90°$

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以上より、直角三角形の斜辺ともう1組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{ABH, }△\text{ACH, }△\text{ADH}$は合同です。

このことから、$\text{BH}=\text{CH}=\text{DH}$であることがわかります。

したがって、点$\text{H}$は頂点$\text{B, C, D}$から等距離の点であるため面$\text{BCD}$の外心であることがわかります。

また、面$\text{BCD}$は正三角形であるため点$\text{H}$は内心、重心、垂心でもあります。