付け足して取り除くという計算テク ~ 数学について考えてみる

2022年4月25日

付け足して取り除くという計算テク

PLUMBAGO

　計算テクニックには付け足して取り除くというものがあります。

これを利用したものをいくつか挙げてみます。

足して引く

　同じものを足して引いても結果は変わらないことを利用します。

平方完成

　2次式

x^{2} + 4 x - 3

$x^2+4x-3$ を平方完成するとき

x^{2} + 4 x

$x^2+4x$ の部分に着目して

(x + ○)^{2}

$(x+○)^2$ の形に変形できるのは

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

$(x+2)^2=x^2+4x+4$

なので

4

$4$ を足して引きます。

$\begin{align*}x^2+4x-3&=x^2+4x\ \underline{+4-4}-3\\ &=(x^2+4x+4)-4-3\\ &=(x+2)^2-7\end{align*}$

のように変形できます。

関連：平方完成するには

積の微分

$f(x)g(x)$ を定義に従って

$x$ で微分すると

$\{f(x)g(x)\}'=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

となり、このままでは微分できるかわかりません。そこで

$f(x)g(x+h)$ を足して引くと

$\begin{align*}&\{f(x)g(x)\}'\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)\ \underline{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\ \\ &=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\ \\ &=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\right\}+\lim_{h\to0}\left\{f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\ \\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{align*}$

となり、微分できることがわかります。

関連：積の微分・商の微分

掛けて割る

　足して引くと同様、同じものを掛けて割っても結果は変わらないことを利用します。

約分・通分

　分数の分母と分子に同じ数を掛けたり割ったりするのは

$\begin{align*}\frac{A×C}{B×C}&=\frac{A}{B}×\frac{C}{C}\\ \\ &=\frac{A}{B}×C×\frac{1}{C}\\ \\ &=\frac{A}{B}×C÷C\end{align*}$

と考えることができます。

　例として

$\dfrac{4}{12}$ を約分するときは、分母と分子が

$4$ で割れるので

$\begin{align*}\frac{4}{12}&=\frac{4}{12}\ \underline{×4÷4}\\ \\ &=\frac{4}{12}÷\frac{1}{4}×\frac{1}{4}\\ \\ &=\frac{4}{12}×\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{4}}\\ \\ &=\cfrac{4×\cfrac{1}{4}}{12×\cfrac{1}{4}}\\ \\ &=\frac{1}{3}\end{align*}$

$\dfrac{2}{3}$ を通分して分母を

$9$ にしたいときは、分母と分子に

$3$ を掛けて

$\begin{align*}\frac{2}{3}&=\frac{2}{3}\ \underline{×3÷3}\\ \\ &=\frac{2}{3}×\frac{3}{3}\\ \\ &=\frac{2×3}{3×3}\\ \\ &=\frac{6}{9}\end{align*}$

となります。

分母の有理化

　分母の有理化は分数の分母と分子に同じ数を掛けて、分母を整数にすることです。

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{3}}&=\frac{1}{\sqrt{3}}\ \underline{×\sqrt{3}÷\sqrt{3}}\\ \\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \\ &=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\ \\ &=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{align*}$

約分・通分と同様のことを行っています。

このように分数ではこのテクニックはよく利用されています。