\begin{align*}z_1=r_1(\cosα&+i\sinα),z_2=r_2(\cosβ+i\sinβ)のとき\\ z_1z_2&=r_1r_2\{\cos(α+β)+i\sin(α+β)\}\\ \\ \frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(α-β)+i\sin(α-β)\}\end{align*}
1. 加法定理の利用
複素数の積
\begin{align*}z_1z_2&=r_1(\cosα+i\sinα)r_2(\cosβ+i\sinβ)\\ &=r_1r_2\{(\cosα\cosβ-\sinα\sinβ)+i(\sinα\cosβ+\cosα\sinβ)\}\end{align*}
加法定理
\begin{align*}\cosα\cosβ-\sinα\sinβ&=\cos(α+β)\\ \\ \sinα\cosβ+\cosα\sinβ&=\sin(α+β)\end{align*}
より
\[z_1z_2=r_1r_2\{\cos(α+β)+i\sin(α+β)\}\]
となります。
複素数の商
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cosα+i\sinα}{\cosβ+i\sinβ}\]
分母と分子に$\dfrac{\bar{z_2}}{r_2}=\cosβ-i\sinβ$を掛けて
\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cosα+i\sinα}{\cosβ+i\sinβ}\cdot\frac{\cosβ-i\sinβ}{\cosβ-i\sinβ}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{(\cosα+i\sinα)(\cosβ-i\sinβ)}{\cos^2β+i\sin^2β}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}\{(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ)+i(\sinα\cosβ-\cosα\sinβ)\}\end{align*}
加法定理
\begin{align*}\cosα\cosβ+\sinα\sinβ&=\cos(α-β)\\ \\ \sinα\cosβ-\cosα\sinβ&=\sin(α-β)\end{align*}
より
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(α-β)+i\sin(α-β)\}\]
となります。
2. オイラーの公式の利用
複素数の積
オイラーの公式
\[z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\]
より
\begin{align*}z_1&=r_1e^{i\alpha}=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\ \\ z_2&=r_2e^{i\beta}=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)\end{align*}
となるので、指数の計算法則
\[X^n\cdot X^m=X^{n+m}\]
を利用して
\begin{align*}z_1z_2&=r_1e^{i\alpha}\cdot r_2e^{i\beta}\\ &=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}\\ \\ &=r_1r_2\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}\end{align*}
となります。
複素数の商
\[\frac{1}{X^n}=X^{-n}\]
より
\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1e^{i\alpha}}{r_2e^{i\beta}}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}e^{i\alpha}e^{-i\beta}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha-\beta)}\\ \\ &=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\}\end{align*}
となります。
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