複素数の積・商 ~ 数学について考えてみる

2022年4月8日

複素数の積・商

PLUMBAGO

　極形式の複素数の積と商は以下のようになります。

$\begin{align*}z_1=r_1(\cosα&+i\sinα),z_2=r_2(\cosβ+i\sinβ)のとき\\ z_1z_2&=r_1r_2\{\cos(α+β)+i\sin(α+β)\}\\[1em]\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(α-β)+i\sin(α-β)\}\end{align*}$

なぜこのような式になるのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。

1. 加法定理の利用

複素数の積

$\begin{align*}z_1z_2&=r_1(\cosα+i\sinα)r_2(\cosβ+i\sinβ)\\[0.5em]&=r_1r_2\{(\cosα\cosβ-\sinα\sinβ)+i(\sinα\cosβ+\cosα\sinβ)\}\end{align*}$

加法定理

$\begin{align*}\cosα\cosβ-\sinα\sinβ&=\cos(α+β)\\[1em]\sinα\cosβ+\cosα\sinβ&=\sin(α+β)\end{align*}$

より

$z_1z_2=r_1r_2\{\cos(α+β)+i\sin(α+β)\}$

となります。

複素数の商

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cosα+i\sinα}{\cosβ+i\sinβ}$

分母と分子に

$\dfrac{\bar{z_2}}{r_2}=\cosβ-i\sinβ$ を掛けて

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cosα+i\sinα}{\cosβ+i\sinβ}\cdot\frac{\cosβ-i\sinβ}{\cosβ-i\sinβ}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{(\cosα+i\sinα)(\cosβ-i\sinβ)}{\cos^2β+i\sin^2β}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}\{(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ)+i(\sinα\cosβ-\cosα\sinβ)\}\end{align*}$

加法定理

$\begin{align*}\cosα\cosβ+\sinα\sinβ&=\cos(α-β)\\[1em]\sinα\cosβ-\cosα\sinβ&=\sin(α-β)\end{align*}$

より

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(α-β)+i\sin(α-β)\}$

となります。

2. オイラーの公式の利用

複素数の積

　オイラーの公式

$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

より

$\begin{align*}z_1&=r_1e^{i\alpha}=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\[1em]z_2&=r_2e^{i\beta}=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)\end{align*}$

となるので、指数の計算法則

$X^n\cdot X^m=X^{n+m}$

を利用して

$\begin{align*}z_1z_2&=r_1e^{i\alpha}\cdot r_2e^{i\beta}\\[0.5em]&=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}\\[0.5em]&=r_1r_2\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}\end{align*}$

となります。

複素数の商

$\frac{1}{X^n}=X^{-n}$

より

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1e^{i\alpha}}{r_2e^{i\beta}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{i\alpha}e^{-i\beta}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha-\beta)}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\}\end{align*}$

となります。