文字式を含む分数の約分

　文字を含む分数の約分はどのようにすればよいでしょうか？

分数の約分とは、分母と分子に共通する因数を含むときその因数を消して分数をより簡単な形にすることです。なので、分数を約分するときは因数分解が有効です。

$$\Large\frac{6a}{12}$$

の分子と分母を因数分解すると

$$\begin{align*}6a&=6×a\\[0.5em]12&=6×2\end{align*}$$

となるので、共通因数の$6$を分母と分子から消して

$$\frac{6a}{12}=\frac{\underline{6}×a}{\underline{6}×2}=\frac{a}{2}$$

のように約分することができます。

　文字を含む分数には分母や分子が多項式になっているものもあります。

$$\Large\frac{3a+15b}{6}$$

の分子と分母を因数分解すると

$$\begin{align*}3a+15b&=3(a+5b)\\[0.5em]6&=3×2\end{align*}$$

となるので、共通因数の$3$を分母と分子から消して

$$\frac{3a+15b}{6}=\frac{\underline{3}(a+5b)}{\underline{3}×2}=\frac{a+5b}{2}$$

のように約分することができます。
分母に文字式がある場合も同様です。

また、分子に文字式がある場合は分数の計算法則

$$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}$$

より

$$\frac{3a+15b}{6}=\frac{3a}{6}+\frac{15b}{6}$$

となり、それぞれの分母と分子を因数分解すれば

$$\begin{align*}3a&=3×a\\[1em]15b&=3×5×b\\[1em]6&=3×2\end{align*}$$

となるから

$$\frac{3a}{6}+\frac{15b}{6}=\frac{a}{2}+\frac{5b}{2}=\frac{a+5b}{2}$$

と約分できることからもわかります。