(e^x)'=e^xであることを確かめるためには

　なぜ$(e^x)'=e^x$が成り立つのでしょうか？

微分の定義に従うと

$$\begin{align*}(e^x)'&=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{e^h\cdot e^x-e^x}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}\\[0.5em]&=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\end{align*}$$

となるので、

$$\begin{equation}\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1\end{equation}$$

であることがわかれば良いことがわかります。

これを確かめるには、以下のようにします。

ネイピア数$e$について

$$e=\lim_{t\to0}(1+t)^\frac{1}{t}$$

であるので、両辺の対数をとって変形すると

$$\lim_{t\to0}\frac{\log_e (1+t)}{t}=1$$

外部リンク：極限 x→0　（log(x+1))/x

更に変形して

$$\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

外部リンク：極限 x→0　（e^x-1)/x

以上より、$(1)$が成り立つことが確かめられたので

$$(e^x)'=e^x$$

であることがわかります。

　底が$e$以外である場合は、$a^x$（$a>0,a\neq e$）を微分の定義に従って微分すると

$$\begin{align*}(a^x)'&=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\[0.5em]&=a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\end{align*}$$

となります。

$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$を(1)が成り立つことを確かめるときと同様にすると

$$\lim_{t\to0}\frac{\log_e (1+t)}{t}=1$$

の$1+t=a^h$とおくと$t\to0$のとき$h\to0$となるから

$$\begin{align*}\lim_{h\to0}\frac{log_e (a^h)}{a^h-1}&=1\\[0.5em]\lim_{h\to0}\frac{h\log_e{a}}{a^h-1}&=1\\[0.5em]\log_e{a}\lim_{h\to0}\frac{h}{a^h-1}&=1\\[0.5em]\lim_{h\to0}\frac{h}{a^h-1}&=\frac{1}{\log_e{a}}\end{align*}$$

両辺の逆数をとると

$$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\log_e{a}$$

したがって、

$$(a^x)'=a^x\log_e{a}$$

となることがわかります。