「次の方程式を解け。
(1)$2^x=5^x$
(2)$2^{x+1}=5^x$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
底が異なる指数方程式は、底が同じになるように変形してから解きます。
(1)$2^x=5^x$
底を揃える方法は2通りあります。
1. 両辺を割る
両辺を$5^x$で割ると
\begin{align*}\frac{2^x}{5^x}&=1\\[0.5em]\left(\frac{2}{5}\right)^x&=1\end{align*}
両辺の対数をとると
\[x=\log_\frac{2}{5}1=0\]
となります。
2. 対数の利用
対数を利用すると
\[5=2^{\log_2 5}\]
なので、
\begin{align*}2^x&=\left(2^{\log_2
5}\right)^x\\[0.5em]&=2^{x\log_2 5}\end{align*}
底が同じならば指数のみで等式が作れるので
\begin{align*}x&=x\log_2 5\\(1-\log_2
5)x&=0\\[0.5em]x&=0\end{align*}
となります。
(2)$2^{x+1}=5^x$
(1)と同じように1.2.それぞれの方法で解いてみます。
1. の方法
最初に指数を$x$のみにする必要があります。
左辺は$2^{x+1}=2\cdot2^x$となるので、
左辺は$2^{x+1}=2\cdot2^x$となるので、
\[2\cdot2^x=5^x\]
両辺を$5^x$で割ると
\begin{align*}2\left(\frac{2}{5}\right)^x&=1\\[0.5em]\left(\frac{2}{5}\right)^x&=\frac{1}{2}\end{align*}
両辺の対数をとると
\begin{align*}x&=\log_\frac{2}{5}\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\log_\frac{2}{5}2^{-1}\\[0.5em]&=-\log_\frac{2}{5}2\end{align*}
となります。
2. の方法
対数を利用すると
\[5=2^{\log_2 5}\]
なので、
\begin{align*}2^{x+1}&=\left(2^{\log_2
5}\right)^x\\[0.5em]&=2^{x\log_2 5}\end{align*}
両辺で底を揃えたので
\begin{align*}x+1&=x\log_2 5\\[0.5em](\log_2
5-1)x&=1\\[0.5em]x&=\frac{1}{\log_2 5-1}\end{align*}
となります。
1.の方法と2.の方法で答えが違うように見えますが、対数の計算法則
\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]
を利用して1.の方法を変形すると
\begin{align*}-\log_\frac{2}{5}2&=-\frac{\log_2
2}{\log_2\frac{2}{5}}\\[0.5em]&=-\frac{1}{\log_2 2-\log_2
5}\\[0.5em]&=-\frac{1}{1-\log_2 5}\\[0.5em]&=\frac{1}{\log_2
5-1}\end{align*}
となるから、1.と2.で得た答えは同じであることがわかります。
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