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2022年4月29日

底の異なる指数方程式を解く(1)

「次の方程式を解け。

(1)2x=5x

(2)2x+1=5x

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 底が異なる指数方程式は、底が同じになるように変形してから解きます。

(1)2x=5x

 底を揃える方法は2通りあります。

1. 両辺を割る

 両辺を5xで割ると
2x5x=1(25)x=1
両辺の対数をとると
x=log251=0
となります。

2. 対数の利用

 対数を利用すると
5=2log25
なので、
2x=(2log25)x=2xlog25
底が同じならば指数のみで等式が作れるので
x=xlog25(1log25)x=0x=0
となります。

(2)2x+1=5x

 (1)と同じように1.2.それぞれの方法で解いてみます。

1. の方法

 最初に指数をxのみにする必要があります。
左辺は2x+1=22xとなるので、
22x=5x
両辺を5xで割ると
2(25)x=1(25)x=12
両辺の対数をとると
x=log2512=log2521=log252
となります。

2. の方法

 対数を利用すると
5=2log25
なので、
2x+1=(2log25)x=2xlog25
両辺で底を揃えたので
x+1=xlog25(log251)x=1x=1log251
となります。

 1.の方法と2.の方法で答えが違うように見えますが、対数の計算法則
logab=logcblogca
を利用して1.の方法を変形すると
log252=log22log225=1log22log25=11log25=1log251
となるから、1.と2.で得た答えは同じであることがわかります。

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